Determine a velocidade e a aceleração da partícula cuja posição é dada pela função vetorial .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a velocidade e a aceleração de uma partícula que tem a posição dada pela função vetorial r(t)=(e^t cos (t),, e^t sin(t),, t e^t). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a ideia de derivadas que nos ajudam a achar como algo muda no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, vamos derivar cada componente de r(t) em relação a t.
A função posição é:
r(t) = (e^t cos(t),, e^t sin(t),, t e^t)
Vamos derivar cada componente:
  1. Para a primeira componente, e^t cos(t):
    • Usamos a regra do produto: ddt[e^t cos(t)] = e^t cos(t) - e^t sin(t)
  2. Para a segunda componente, e^t sin(t):
    • Também aplicamos a regra do produto: ddt[e^t sin(t)] = e^t sin(t) + e^t cos(t)
  3. Para a terceira componente, t e^t:
    • Mais uma vez, a regra do produto: ddt[t e^t] = e^t + t e^t
Então, a velocidade v(t) fica:
v(t) = (e^t cos(t) - e^t sin(t),, e^t sin(t) + e^t cos(t),, e^t + t e^t)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da velocidade que acabamos de encontrar.
A função velocidade é:
v(t) = (e^t cos(t) - e^t sin(t),, e^t sin(t) + e^t cos(t),, e^t + t e^t)
Vamos derivar cada componente:
  1. Para a primeira componente, e^t cos(t) - e^t sin(t):
    • Derivando termo a termo:
      • ddt[e^t cos(t)] = e^t cos(t) - e^t sin(t)
      • ddt[-e^t sin(t)] = -e^t sin(t) - e^t cos(t)
    • Então, a derivada total é: e^t cos(t) - e^t sin(t) - e^t sin(t) - e^t cos(t) = -2 e^t sin(t)
  2. Para a segunda componente, e^t sin(t) + e^t cos(t):
    • Derivando termo a termo:
      • ddt[e^t sin(t)] = e^t sin(t) + e^t cos(t)
      • ddt[e^t cos(t)] = e^t cos(t) - e^t sin(t)
    • Então, a derivada total é: e^t sin(t) + e^t cos(t) + e^t cos(t) - e^t sin(t) = 2 e^t cos(t)
  3. Para a terceira componente, e^t + t e^t:
    • Derivando termo a termo:
      • ddt[e^t] = e^t
      • ddt[t e^t] = e^t + t e^t
    • Então, a derivada total é: e^t + e^t + t e^t = 2 e^t + t e^t
Então, a aceleração a(t) fica:
a(t) = (-2 e^t sin(t),, 2 e^t cos(t),, 2 e^t + t e^t)

Resposta

A velocidade da partícula é:
v(t) = (e^t cos(t) - e^t sin(t),, e^t sin(t) + e^t cos(t),, e^t + t e^t)
E a aceleração da partícula é:
a(t) = (-2 e^t sin(t),, 2 e^t cos(t),, 2 e^t + t e^t)

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