Determine a velocidade e a aceleração da partícula cuja posição é dada pela função vetorial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a velocidade e a aceleração de uma partícula que tem a posição dada pela função vetorial
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente a ideia de derivadas que nos ajudam a achar como algo muda no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, vamos derivar cada componente de
em relação a
.
A função posição é:
Vamos derivar cada componente:
-
Para a primeira componente,
: - Usamos a regra do produto:
- Usamos a regra do produto:
-
Para a segunda componente,
: - Também aplicamos a regra do produto:
- Também aplicamos a regra do produto:
-
Para a terceira componente,
: - Mais uma vez, a regra do produto:
- Mais uma vez, a regra do produto:
Então, a velocidade
fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da velocidade que acabamos de encontrar.
A função velocidade é:
Vamos derivar cada componente:
-
Para a primeira componente,
: - Derivando termo a termo:
-
- Então, a derivada total é:
- Derivando termo a termo:
-
Para a segunda componente,
: - Derivando termo a termo:
-
- Então, a derivada total é:
- Derivando termo a termo:
-
Para a terceira componente,
: - Derivando termo a termo:
-
- Então, a derivada total é:
- Derivando termo a termo:
Então, a aceleração
fica:
Resposta
A velocidade da partícula é:
E a aceleração da partícula é: