Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
t \cdot \frac{d y}{d t}=2 t \cdot e^{t}-y+6 t^{2}
t \cdot \frac{d y}{d t}=2 t \cdot e^{t}-y+6 t^{2}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede para verificarmos se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Vamos tratar como uma diferencial exata na forma
onde identificaremos
e
, conferiremos a condição de exatidão e encontraremos a função potencial.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a equação em forma diferencial exata. Partindo de
multiplicando por
obtemos
Logo
Passo 3
Verificamos a condição de exatidão
:
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 4
Buscamos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Como
e
, segue
Para ajustar ao
, calculamos
Passo 5
A solução implícita é
Podemos deixar assim ou isolar
:
Resposta
ou, explicitamente,