Verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
t \cdot \frac{d y}{d t}=2 t \cdot e^{t}-y+6 t^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
tdydt=2t,e^t-y+6t^2
e pede para verificarmos se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. Vamos tratar como uma diferencial exata na forma
M(t,y),dt + N(t,y),dy = 0,
onde identificaremos M e N, conferiremos a condição de exatidão e encontraremos a função potencial.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação em forma diferencial exata. Partindo de
t,dydt + y - 2t,e^t - 6t^2 = 0,
multiplicando por dt obtemos
t,dy + y,dt -2t,e^t,dt -6t^2,dt = 0
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M(t,y) = y -2t,e^t -6t^2, N(t,y) = t

Passo 3

Verificamos a condição de exatidão partial M/partial y = partial N/partial t:
partial Mpartial y = 1, partial Npartial t = 1
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 4

Buscamos uma função potencial Psi(t,y) tal que
partial Psipartial t = M(t,y), partial Psipartial y = N(t,y)
Integramos M em relação a t:
Psi(t,y) = integrall(y -2t,e^t -6t^2r),dt = y,t -2integral t,e^t,dt -6integral t^2,dt + g(y)
Como integral t e^tdt = t,e^t-e^t e integral t^2dt = t^3/3, segue
Psi(t,y) = y,t -2l(t,e^t-e^tr) -6cdott^33 + g(y) = y,t -2t,e^t +2e^t -2t^3 + g(y)
Para ajustar ao N, calculamos
partial Psipartial y = t + g'(y) stackrel!= N(t,y) = t ;Longrightarrow; g'(y)=0 ;Longrightarrow; g(y)=const

Passo 5

A solução implícita é
Psi(t,y) = t,y -2t,e^t +2e^t -2t^3 = C
Podemos deixar assim ou isolar y:
t,y = 2t,e^t -2e^t +2t^3 + C ;Longrightarrow; y = Ct +2e^t -2e^tt +2t^2

Resposta

t,y -2t,e^t +2e^t -2t^3 = C,
ou, explicitamente,
y = Ct +2e^t -2e^tt +2t^2

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