2: A temperatura u(x, t) em uma barra com 10 cm de comprimento, cujas extremidades são mantidas à temperatura de 0^{\circ} Cpara todo t>0, e cuja distribuição de temperatura inicial é dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{2 x}{10}, & 0 \leq x \leq 5 \\\ \frac{10-x}{5}, & 5<x<10 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede que encontremos a evolução da temperatura na barra:
  • Comprimento da barra: 10\) cm (então \(0<x<10\)). - Condições de contorno: as extremidades são mantidas a \(0^\circ\text{C}\) para todo \(t>0\). Logo \[u(0,t)=0,\qquad u(10,t)=0\quad\text{para }t>0.
  • Condição inicial: a distribuição de temperatura em t=0 é dada por
f(x)=\begin{cases} \dfrac{2x}{10}=\dfrac{x}{5}, & 0\le x\le 5,\\[6pt] \dfrac{10-x}{5}, & 5<x<10. \end{cases}
  • O problema implícito é encontrar u(x,t)\] para \(t>0,\;0<x<10 que satisfaça a equação do calor (assumida homogênea) com essas condições. Vou tomar a equação do calor padrão
u_t=\kappa\,u_{xx},
onde \kappa>0 é a difusividade térmica (se o enunciado assume unidade, basta tomar \kappa=1). A tarefa: obter u(x,t) em série de Fourier.]

Passo 2

Ideia do método (sem ainda calcular): usar separação de variáveis e a expansão em série de senos (séries de Fourier tipo seno) porque as condições de contorno são homogêneas u(0,t)=u(10,t)=0. Resumo do que faremos:
  • Procurar autossoluções do tipo X(x)T(t).
  • Obter autovalores \lambda_n e autofunções \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{10}\big).
  • Escrever a solução como soma de modos:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\!\left(\tfrac{n\pi x}{10}\right)e^{-\kappa(\tfrac{n\pi}{10})^2 t},
onde os coeficientes B_n são obtidos da expansão da condição inicial f(x) em série de senos. Agora vamos desenvolver tudo passo a passo e explicar cada fórmula usada.

Passo 3

Separação de variáveis (aulas rápidas):
  • Supor u(x,t)=X(x)T(t). Então
X(x)T'(t)=\kappa X''(x)T(t).
Dividindo por \kappa X(x)T(t) (assumindo X e T não nulos),
\frac{T'(t)}{\kappa T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é a constante de separação (sinal escolhido para obter soluções com seno). Isso gera dois ODEs:
T'(t)=-\kappa\lambda T(t),\qquad X''(x)+\lambda X(x)=0.
As condições u(0,t)=0 e u(10,t)=0 implicam X(0)=0 e X(10)=0. As soluções não-triviais para X ocorrem quando \lambda=\big(\tfrac{n\pi}{10}\big)^2 com n=1,2,\dots. As autofunções correspondentes são
X_n(x)=\sin\!\left(\tfrac{n\pi x}{10}\right),
e os modos temporais são
T_n(t)=e^{-\kappa(\tfrac{n\pi}{10})^2 t}.
Portanto a solução geral (soma dos modos) é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\sin\!\left(\tfrac{n\pi x}{10}\right)e^{-\kappa(\tfrac{n\pi}{10})^2 t},
onde os B_n serão obtidos impondo u(x,0)=f(x).

Passo 4

Fórmula dos coeficientes (aula de séries de Fourier-seno):
Para uma função f definida em [0,10] com f(0)=f(10)=0 (ou mesmo sem isso, a expansão em série de senos vale em sentido L^2), os coeficientes da série de senos são dados por
B_n=\frac{2}{10}\int_{0}^{10} f(x)\sin\!\left(\tfrac{n\pi x}{10}\right)\,dx=\frac{1}{5}\int_{0}^{10} f(x)\sin\!\left(\tfrac{n\pi x}{10}\right)\,dx.
Explicando por que: as funções \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{10}\big) são ortogonais em [0,10] com norma \int_0^{10}\sin^2(\tfrac{n\pi x}{10})dx=5, daí o fator \tfrac{2}{10}. Agora aplicamos isso ao f(x) dado (peça por peça).

Passo 5

Cálculo explícito de B_n. Substituindo f pedaço a pedaço:
B_n=\frac{1}{5}\left(\int_{0}^{5}\frac{x}{5}\sin(ax)\,dx+\int_{5}^{10}\frac{10-x}{5}\sin(ax)\,dx\right),
onde para abreviar definimos
a=\frac{n\pi}{10}.
Fatorando 1/5:
B_n=\frac{1}{25}\Big(I_1+I_2\Big), \qquad I_1=\int_{0}^{5} x\sin(ax)\,dx,\qquad I_2=\int_{5}^{10} (10-x)\sin(ax)\,dx.
Agora calcular I_1 por partes. Seja J(x)=\int x\sin(ax)\,dx. Usando integração por partes:
J(x)=-\frac{x\cos(ax)}{a}+\frac{\sin(ax)}{a^2}+C.
Logo
I_1=J(5)-J(0)=-\frac{5\cos(5a)}{a}+\frac{\sin(5a)}{a^2}.
Para I_2 escrevemos 10-x como 10 menos x:
I_2=10\int_{5}^{10}\sin(ax)\,dx-\int_{5}^{10}x\sin(ax)\,dx.
Avaliar cada termo: \int \sin(ax)\,dx=-\dfrac{\cos(ax)}{a}, e já temos J(x) para \int x\sin(ax)\,dx. Então
\int_{5}^{10}\sin(ax)\,dx=\frac{-\cos(10a)+\cos(5a)}{a},
e
\int_{5}^{10}x\sin(ax)\,dx=J(10)-J(5)=-\frac{10\cos(10a)}{a}+\frac{\sin(10a)}{a^2}+\frac{5\cos(5a)}{a}-\frac{\sin(5a)}{a^2}.
Substituindo em I_2 e simplificando (faça passo a passo como abaixo):
I_2=10\cdot\frac{-\cos(10a)+\cos(5a)}{a}-\Big(-\frac{10\cos(10a)}{a}+\frac{\sin(10a)}{a^2}+\frac{5\cos(5a)}{a}-\frac{\sin(5a)}{a^2}\Big).
Agrupando termos de \cos e \sin e simplificando obtém-se (os termos em \cos(10a) cancelam):
I_2=\frac{5\cos(5a)}{a}-\frac{\sin(10a)-\sin(5a)}{a^2}.
Somando I_1+I_2:
I_1+I_2=\Big(-\frac{5\cos(5a)}{a}+\frac{\sin(5a)}{a^2}\Big)+\Big(\frac{5\cos(5a)}{a}-\frac{\sin(10a)-\sin(5a)}{a^2}\Big).
Os termos em \cos(5a) cancelam, sobrando
I_1+I_2=\frac{2\sin(5a)-\sin(10a)}{a^2}.
Lembrando a=\dfrac{n\pi}{10}, temos 5a=\dfrac{n\pi}{2} e 10a=n\pi. Como \sin(n\pi)=0, o termo com \sin(10a) some. Portanto
I_1+I_2=\frac{2\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)}{a^2}.
Substituindo em B_n=\dfrac{1}{25}(I_1+I_2) e usando a^2=(\tfrac{n\pi}{10})^2=\dfrac{n^2\pi^2}{100}, obtemos
B_n=\frac{1}{25}\cdot\frac{2\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)}{a^2} =\frac{2}{25}\cdot\frac{100}{n^2\pi^2}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big) =\frac{8}{n^2\pi^2}\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big).
Observação prática: \sin\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big) vale 0 para n par, e para n ímpar tem padrão alternado:
\sin\!\big(\tfrac{(2m-1)\pi}{2}\big)=(-1)^{m-1}\quad(m=1,2,\dots).
Então apenas os índices ímpares contribuem e os coeficientes dos pares são zero.

Passo 6

Escrever a solução final e forma alternativa (mais compacta):
Inserindo B_n na série obtemos
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8}{n^2\pi^2}\sin\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right)\sin\!\left(\tfrac{n\pi x}{10}\right) e^{-\kappa(\tfrac{n\pi}{10})^2 t}.
Como explicado, apenas n ímpares aparecem. Escrevendo com n=2m-1 ( m=1,2,\dots):
u(x,t)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{8(-1)^{m-1}}{(2m-1)^2\pi^2}\sin\!\left(\frac{(2m-1)\pi x}{10}\right)\exp\!\left(-\kappa\Big(\frac{(2m-1)\pi}{10}\Big)^2 t\right).
Esta é a solução procurada. Se no enunciado a difusividade for \kappa=1, basta substituir \kappa=1 nas exponenciais.

Resposta

u(x,t)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{8(-1)^{m-1}}{(2m-1)^2\pi^2}\sin\!\left(\frac{(2m-1)\pi x}{10}\right)\exp\!\left(-\kappa\Big(\frac{(2m-1)\pi}{10}\Big)^2 t\right).

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