2: A temperatura u(x, t) em uma barra com 10 cm de comprimento, cujas extremidades são mantidas à temperatura de 0^{\circ} Cpara todo t>0, e cuja distribuição de temperatura inicial é dada por
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede que encontremos a evolução da temperatura na barra:
Comprimento da barra: 10\) cm (então \(0<x<10\)).
- Condições de contorno: as extremidades são mantidas a \(0^\circ\text{C}\) para todo \(t>0\). Logo
\[u(0,t)=0,\qquad u(10,t)=0\quad\text{para }t>0.
Condição inicial: a distribuição de temperatura em t=0 é dada por
O problema implícito é encontrar u(x,t)\] para \(t>0,\;0<x<10 que satisfaça a equação do calor (assumida homogênea) com essas condições. Vou tomar a equação do calor padrão
u_t=\kappa\,u_{xx},
onde \kappa>0 é a difusividade térmica (se o enunciado assume unidade, basta tomar \kappa=1). A tarefa: obter u(x,t) em série de Fourier.]
Passo 2
Ideia do método (sem ainda calcular): usar separação de variáveis e a expansão em série de senos (séries de Fourier tipo seno) porque as condições de contorno são homogêneas u(0,t)=u(10,t)=0. Resumo do que faremos:
Procurar autossoluções do tipo X(x)T(t).
Obter autovalores \lambda_n e autofunções \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{10}\big).
onde os coeficientes B_n são obtidos da expansão da condição inicial f(x) em série de senos. Agora vamos desenvolver tudo passo a passo e explicar cada fórmula usada.
Passo 3
Separação de variáveis (aulas rápidas):
Supor u(x,t)=X(x)T(t). Então
X(x)T'(t)=\kappa X''(x)T(t).
Dividindo por \kappa X(x)T(t) (assumindo X e T não nulos),
As condições u(0,t)=0 e u(10,t)=0 implicam X(0)=0 e X(10)=0. As soluções não-triviais para X ocorrem quando \lambda=\big(\tfrac{n\pi}{10}\big)^2 com n=1,2,\dots. As autofunções correspondentes são
Fórmula dos coeficientes (aula de séries de Fourier-seno):
Para uma função f definida em [0,10] com f(0)=f(10)=0 (ou mesmo sem isso, a expansão em série de senos vale em sentido L^2), os coeficientes da série de senos são dados por
Explicando por que: as funções \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{10}\big) são ortogonais em [0,10] com norma \int_0^{10}\sin^2(\tfrac{n\pi x}{10})dx=5, daí o fator \tfrac{2}{10}. Agora aplicamos isso ao f(x) dado (peça por peça).
Passo 5
Cálculo explícito de B_n. Substituindo f pedaço a pedaço: