Encontre a velocidade e a posição x em função do tempo t para uma partícula de massa m, que parte do repouso na posição x=0 \mathrm{~m} em t=0 \mathrm{~s}, sujeita às seguintes forças:
a) F_{x}=F_{0}+c t
b) F_{x}=F_{0} \operatorname{sen}(c t)
c) F_{x}=F_{0} e^{c t}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a velocidade \dot{x} e a posição x em função do tempo t para uma partícula de massa m que parte do repouso na posição x=0 em t=0, sujeita a três forças dadas separadamente:
a) F_{x}=F_{0}+c t
b) F_{x}=F_{0}\operatorname{sen}(c t)
c) F_{x}=F_{0}e^{c t}
Informações relevantes dadas:
m \text{ é constante, } x(0)=0,\; \dot{x}(0)=0.é
As constantes F_{0} e c são parâmetros dados (assumo que são constantes reais). A tarefa é, para cada caso (a), (b) e (c), obter \dot{x}(t) e x(t).

Passo 2

Princípio físico e método geral (passo-a-passo): pela segunda lei de Newton temos que a força resultante iguala massa vezes aceleração. Escrevo isso na forma
m\ddot{x}(t)=F_x(t).
Aqui \ddot{x}(t) é a aceleração, \dot{x}(t) a velocidade e x(t) a posição. Portanto
\ddot{x}(t)=\frac{F_x(t)}{m}.
Plano de ação: integrar \ddot{x}(t) em relação a t para obter \dot{x}(t) (aparecerá uma constante de integração), depois integrar \dot{x}(t) para obter x(t) (outra constante). Determino as constantes usando as condições iniciais \dot{x}(0)=0 e x(0)=0.
Antes de aplicar, recorde rápido de integrais úteis que vou usar:
\int a\,dt = a t + C,\quad \int t\,dt=\tfrac{t^{2}}{2}+C,\quad \int t^{2}dt=\tfrac{t^{3}}{3}+C,
\int \operatorname{sen}(ct)\,dt = -\frac{\cos(ct)}{c}+C,\quad \int \cos(ct)\,dt = \frac{\operatorname{sen}(ct)}{c}+C,
\int e^{ct}\,dt = \frac{e^{ct}}{c}+C.
Essas fórmulas vêm da regra da cadeia (por exemplo, para \int \operatorname{sen}(ct)\,dt faço u=ct, du=c\,dt, daí \int \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{c} = -\frac{\cos(u)}{c}).

Passo 3

Para (a) tenho
\ddot{x}(t)=\frac{F_{0}+c t}{m}.
Integro em t para obter \dot{x}(t):
\dot{x}(t)=\int \ddot{x}(t)\,dt=\int \frac{F_{0}}{m}\,dt+\int \frac{c}{m}t\,dt.
Usando as integrais básicas:
\dot{x}(t)=\frac{F_{0}}{m}t+\frac{c}{m}\cdot\frac{t^{2}}{2}+C_{1}.
Aplico a condição inicial \dot{x}(0)=0:
0=\frac{F_{0}}{m}\cdot 0+\frac{c}{m}\cdot\frac{0^{2}}{2}+C_{1}\implies C_{1}=0.
Logo
\dot{x}(t)=\frac{F_{0}}{m}t+\frac{c}{2m}t^{2}.

Passo 4

Agora integro \dot{x}(t) para achar x(t):
x(t)=\int \dot{x}(t)\,dt=\int \left(\frac{F_{0}}{m}t+\frac{c}{2m}t^{2}\right)dt.
Calculando as integrais:
x(t)=\frac{F_{0}}{m}\cdot\frac{t^{2}}{2}+\frac{c}{2m}\cdot\frac{t^{3}}{3}+C_{2}.
Simplificando os coeficientes:
x(t)=\frac{F_{0}}{2m}t^{2}+\frac{c}{6m}t^{3}+C_{2}.
Usando x(0)=0 C_{2}=0. Portanto
x(t)=\frac{F_{0}}{2m}t^{2}+\frac{c}{6m}t^{3}.

Passo 5

Para (b) temos
\ddot{x}(t)=\frac{F_{0}\operatorname{sen}(ct)}{m}.
Integro para obter \dot{x}(t):
\dot{x}(t)=\int \frac{F_{0}}{m}\operatorname{sen}(ct)\,dt=\frac{F_{0}}{m}\left(-\frac{\cos(ct)}{c}\right)+C_{1}.
Portanto
\dot{x}(t)=-\frac{F_{0}}{m c}\cos(ct)+C_{1}.
Imponho \dot{x}(0)=0. Como \cos(0)=1,
0=-\frac{F_{0}}{m c}\cdot 1 + C_{1}\implies C_{1}=\frac{F_{0}}{m c}.
Logo
\dot{x}(t)=\frac{F_{0}}{m c}\bigl(1-\cos(ct)\bigr).
Aqui dá para ver que \dot{x}(t)\ge 0 quando F_{0}/(m c)>0 e que a velocidade inicia em zero.

Passo 6

Integro \dot{x}(t):
x(t)=\int \frac{F_{0}}{m c}\bigl(1-\cos(ct)\bigr)\,dt=\frac{F_{0}}{m c}\left(\int 1\,dt-\int \cos(ct)\,dt\right).
Usando \int \cos(ct)\,dt=\frac{\operatorname{sen}(ct)}{c} obtemos
x(t)=\frac{F_{0}}{m c}\left(t-\frac{\operatorname{sen}(ct)}{c}\right)+C_{2}.
Com x(0)=0 e \operatorname{sen}(0)=0 obtemos C_{2}=0. Portanto
x(t)=\frac{F_{0}}{m c}\left(t-\frac{\operatorname{sen}(ct)}{c}\right).

Passo 7

Para (c) a aceleração é
\ddot{x}(t)=\frac{F_{0}e^{ct}}{m}.
Integro para achar a velocidade:
\dot{x}(t)=\int \frac{F_{0}}{m}e^{ct}\,dt=\frac{F_{0}}{m}\cdot\frac{e^{ct}}{c}+C_{1}.
Assim
\dot{x}(t)=\frac{F_{0}}{m c}e^{ct}+C_{1}.
Impondo \dot{x}(0)=0 e usando e^{0}=1:
0=\frac{F_{0}}{m c}\cdot 1 + C_{1}\implies C_{1}=-\frac{F_{0}}{m c}.
Portanto
\dot{x}(t)=\frac{F_{0}}{m c}\bigl(e^{ct}-1\bigr).

Passo 8

Agora integro \dot{x}(t):
x(t)=\int \frac{F_{0}}{m c}\bigl(e^{ct}-1\bigr)\,dt=\frac{F_{0}}{m c}\left(\int e^{ct}\,dt-\int 1\,dt\right).
Calculando as integrais:
x(t)=\frac{F_{0}}{m c}\left(\frac{e^{ct}}{c}-t\right)+C_{2}=\frac{F_{0}}{m c^{2}}e^{ct}-\frac{F_{0}}{m c}t + C_{2}.
Usando x(0)=0 e e^{0}=1 obtemos
0=\frac{F_{0}}{m c^{2}}-\frac{F_{0}}{m c}\cdot 0 + C_{2}\implies C_{2}=-\frac{F_{0}}{m c^{2}}.
Substituindo:
x(t)=\frac{F_{0}}{m c^{2}}\bigl(e^{ct}-1\bigr)-\frac{F_{0}}{m c}t.
Fatorando de forma compacta:
x(t)=\frac{F_{0}}{m c^{2}}\bigl(e^{ct}-1-ct\bigr).

Resposta

(a) \dot{x}(t)=\dfrac{F_{0}}{m}t+\dfrac{c}{2m}t^{2}
(a) x(t)=\dfrac{F_{0}}{2m}t^{2}+\dfrac{c}{6m}t^{3}
(b) \dot{x}(t)=\dfrac{F_{0}}{m c}\bigl(1-\cos(ct)\bigr)
(b) x(t)=\dfrac{F_{0}}{m c}\left(t-\dfrac{\operatorname{sen}(ct)}{c}\right)
(c) \dot{x}(t)=\dfrac{F_{0}}{m c}\bigl(e^{ct}-1\bigr)
(c) x(t)=\dfrac{F_{0}}{m c^{2}}\bigl(e^{ct}-1-ct\bigr)

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