Encontre a velocidade
e a posição x em função do tempo t para uma partícula de massa m, que parte do repouso na posição
em
, sujeita às seguintes forças:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a velocidade
e a posição
em função do tempo
para uma partícula de massa
que parte do repouso na posição
em
, sujeita a três forças dadas separadamente:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Informações relevantes dadas:
As constantes
e
são parâmetros dados (assumo que são constantes reais). A tarefa é, para cada caso (a), (b) e (c), obter
e
.
Passo 2
Princípio físico e método geral (passo-a-passo): pela segunda lei de Newton temos que a força resultante iguala massa vezes aceleração. Escrevo isso na forma
Aqui
é a aceleração,
a velocidade e
a posição. Portanto
Plano de ação: integrar
em relação a
para obter
(aparecerá uma constante de integração), depois integrar
para obter
(outra constante). Determino as constantes usando as condições iniciais
e
.
Antes de aplicar, recorde rápido de integrais úteis que vou usar:
Essas fórmulas vêm da regra da cadeia (por exemplo, para
faço
,
, daí
).
Passo 3
Para (a) tenho
Integro em
para obter
:
Usando as integrais básicas:
Aplico a condição inicial
:
Logo
Passo 4
Agora integro
para achar
:
Calculando as integrais:
Simplificando os coeficientes:
Usando
dá
. Portanto
Passo 5
Para (b) temos
Integro para obter
:
Portanto
Imponho
. Como
,
Logo
Aqui dá para ver que
quando
e que a velocidade inicia em zero.
Passo 6
Integro
:
Usando
obtemos
Com
e
obtemos
. Portanto
Passo 7
Para (c) a aceleração é
Integro para achar a velocidade:
Assim
Impondo
e usando
:
Portanto
Passo 8
Agora integro
:
Calculando as integrais:
Usando
e
obtemos
Substituindo:
Fatorando de forma compacta:
Resposta
(a)
(a)
(a)
(b)
(b)
(b)
(c)
(c)
(c)