Determine o determinante da matriz
A=[cccc 1 & 2 & 0 & 1 3 & -1 & -1 & 4 5 & 4 & 1 & 0 -1 & 0 & 2 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o determinante da matriz . Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o cálculo de determinantes de matrizes quadradas. Para resolver isso, vamos usar o método de expansão por cofatores, que é uma técnica passo a passo para calcular determinantes de matrizes maiores.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é um determinante: ele é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá várias informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para uma matriz 4x4, o cálculo direto pode ser trabalhoso, então vamos usar a expansão por cofatores em uma linha ou coluna que facilite nossas contas. Vamos escolher a primeira linha para simplificar.

Passo 3

A matriz A=[cccc 1 & 2 & 0 & 1 3 & -1 & -1 & 4 5 & 4 & 1 & 0 -1 & 0 & 2 & 1 ] que vamos trabalhar é:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
Vamos expandir o determinante pela primeira linha. A fórmula geral para a expansão por cofatores é:
onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Vamos calcular cada cofator Cij = (-1)^i+j cdot Mij da primeira linha. O cofator é dado por:
onde é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a linha e a coluna .

Passo 5

Começando com C11 = (-1)^1+1 cdot det(ccc -1 & -1 & 4 4 & 1 & 0 0 & 2 & 1 ) = 1 cdot det(ccc -1 & -1 & 4 4 & 1 & 0 0 & 2 & 1 ) :
det = -1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 2) - (-1) cdot (4 cdot 1 - 0 cdot 0) + 4 cdot (4 cdot 2 - 1 cdot 0) = -1(1) + 1(4) + 4(8) = -1 + 4 + 32 = 35
Calculando esse determinante 3x3:
Então, .

Passo 6

Agora, C12 = (-1)^1+2 cdot det(ccc 3 & -1 & 4 5 & 1 & 0 -1 & 2 & 1 ) = -1 cdot det(ccc 3 & -1 & 4 5 & 1 & 0 -1 & 2 & 1 ) :
det = 3(1 cdot 1 - 0 cdot 2) - (-1)(5 cdot 1 - 0 cdot (-1)) + 4(5 cdot 2 - 1 cdot (-1)) = 3(1) + 1(5) + 4(11) = 3 + 5 + 44 = 52
Calculando esse determinante 3x3:
Então, .

Passo 7

Seguimos para C13 = (-1)^1+3 cdot det(ccc 3 & -1 & 4 5 & 4 & 0 -1 & 0 & 1 ) = 1 cdot det(ccc 3 & -1 & 4 5 & 4 & 0 -1 & 0 & 1 ) :
det = 3(4 cdot 1 - 0 cdot 0) - (-1)(5 cdot 1 - 0 cdot (-1)) + 4(5 cdot 0 - 4 cdot (-1)) = 3(4) + 1(5) + 4(4) = 12 + 5 + 16 = 33
Calculando esse determinante 3x3:
Então, .

Passo 8

Por último, C14 = (-1)^1+4 cdot det(ccc 3 & -1 & -1 5 & 4 & 1 -1 & 0 & 2 ) = -1 cdot det(ccc 3 & -1 & -1 5 & 4 & 1 -1 & 0 & 2 ) :
det = 3(4 cdot 2 - 1 cdot 0) - (-1)(5 cdot 2 - 1 cdot (-1)) + (-1)(5 cdot 0 - 4 cdot (-1)) = 3(8) + 1(11) + (-1)(4) = 24 + 11 - 4 = 31
Calculando esse determinante 3x3:
Então, .

Passo 9

Agora, juntando tudo na fórmula da expansão por cofatores:
det(A) = 1 cdot 35 + 2 cdot (-52) + 0 cdot 33 + 1 cdot (-31) = 35 - 104 + 0 - 31 = -100

Resposta

O determinante da matriz é .

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