Determine todos os valores de e , para que o determinate da matriz seja nulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar todos os valores de x, y e z (números naturais diferentes de zero, e y diferente de 1) que fazem com que o determinante da matriz B seja igual a zero. A gente vai precisar usar conceitos de determinantes de matrizes, especialmente para matrizes 4x4. Vamo resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz quadrada nos dá muita informação sobre ela, como se ela é invertível ou não. Se o determinante é zero, a matriz não é invertível e seus vetores colunas são linearmente dependentes. Aqui, queremos que o determinante da matriz B seja zero.
Passo 3
A matriz B é dada por:
B = 1 & 0 & 1 & 0 0 & x & 0 & x^2 y^2 & 0 & y & 0 0 & z & 0 & z
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Para matrizes maiores que 3x3, uma maneira prática é usar a expansão de Laplace ou procurar simplificações.
Passo 4
Observando a matriz, percebemos que nas colunas 2 e 4 há zeros que podem ajudar na simplificação. Vamos reescrever a matriz para facilitar:
B = 1 & 0 & 1 & 0 0 & x & 0 & x^2 y^2 & 0 & y & 0 0 & z & 0 & z
Vamos tentar separar a matriz em blocos ou identificar se há dependências lineares.
Passo 5
Uma estratégia é trocar linhas ou colunas para deixar a matriz em uma forma mais fácil de calcular o determinante. Porém, aqui vamos notar que as colunas 2 e 4 são múltiplos:
Coluna 4 = x^2 vezes coluna 2 (primeira coluna não nula na coluna 4):
Coluna 4 = x^2 times Coluna 2
Isso significa que as colunas são linearmente dependentes se x^2 for constante em relação a coluna 2, o que já nos dá uma condição para o determinante ser zero.
Passo 6
Outra observação importante é que a presença de zeros facilita a expansão do determinante. Vamos expandir o determinante pela primeira linha:
det(B) = 1 cdot det x & 0 & x^2 0 & y & 0 z & 0 & z - 0 + 1 cdot det 0 & x & x^2 y^2 & 0 & 0 0 & z & z - 0
Passo 7
Calculando os determinantes menores:
Primeiro menor:
det x & 0 & x^2 0 & y & 0 z & 0 & z = x cdot det y & 0 0 & z - 0 + x^2 cdot det 0 & y z & 0
= x(yz) + x^2(0 - yz) = xyz - xyz = 0
Segundo menor:
det 0 & x & x^2 y^2 & 0 & 0 0 & z & z = 0 - x cdot det y^2 & 0 0 & z + x^2 cdot det y^2 & 0 0 & z