Determine todos os valores de x, y, z in N com x, y, z neq 0 e y neq 1, para que o determinate da matriz B seja nulo.
B=[cccc 1 & 0 & 1 & 0 0 & x & 0 & x^2 y^2 & 0 & y & 0 0 & z & 0 & z ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar todos os valores de x, y e z (números naturais diferentes de zero, e y diferente de 1) que fazem com que o determinante da matriz B seja igual a zero. A gente vai precisar usar conceitos de determinantes de matrizes, especialmente para matrizes 4x4. Vamo resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz quadrada nos dá muita informação sobre ela, como se ela é invertível ou não. Se o determinante é zero, a matriz não é invertível e seus vetores colunas são linearmente dependentes. Aqui, queremos que o determinante da matriz B seja zero.

Passo 3

A matriz B é dada por:
B = 1 & 0 & 1 & 0 0 & x & 0 & x^2 y^2 & 0 & y & 0 0 & z & 0 & z
Vamos calcular o determinante dessa matriz. Para matrizes maiores que 3x3, uma maneira prática é usar a expansão de Laplace ou procurar simplificações.

Passo 4

Observando a matriz, percebemos que nas colunas 2 e 4 há zeros que podem ajudar na simplificação. Vamos reescrever a matriz para facilitar:
B = 1 & 0 & 1 & 0 0 & x & 0 & x^2 y^2 & 0 & y & 0 0 & z & 0 & z
Vamos tentar separar a matriz em blocos ou identificar se há dependências lineares.

Passo 5

Uma estratégia é trocar linhas ou colunas para deixar a matriz em uma forma mais fácil de calcular o determinante. Porém, aqui vamos notar que as colunas 2 e 4 são múltiplos:
Coluna 4 = x^2 vezes coluna 2 (primeira coluna não nula na coluna 4):
Coluna 4 = x^2 times Coluna 2
Isso significa que as colunas são linearmente dependentes se x^2 for constante em relação a coluna 2, o que já nos dá uma condição para o determinante ser zero.

Passo 6

Outra observação importante é que a presença de zeros facilita a expansão do determinante. Vamos expandir o determinante pela primeira linha:
det(B) = 1 cdot det x & 0 & x^2 0 & y & 0 z & 0 & z - 0 + 1 cdot det 0 & x & x^2 y^2 & 0 & 0 0 & z & z - 0

Passo 7

Calculando os determinantes menores:
Primeiro menor:
det x & 0 & x^2 0 & y & 0 z & 0 & z = x cdot det y & 0 0 & z - 0 + x^2 cdot det 0 & y z & 0
= x(yz) + x^2(0 - yz) = xyz - xyz = 0
Segundo menor:
det 0 & x & x^2 y^2 & 0 & 0 0 & z & z = 0 - x cdot det y^2 & 0 0 & z + x^2 cdot det y^2 & 0 0 & z
= -x(y^2z) + x^2(y^2z) = -xy^2z + x^2y^2z = y^2z(x^2 - x)

Passo 8

Agora, voltando ao determinante total:
det(B) = 1 cdot 0 + 1 cdot y^2z(x^2 - x) = y^2z(x^2 - x)
Queremos que isso seja igual a zero:
y^2z(x^2 - x) = 0

Passo 9

Como estamos trabalhando com números naturais diferentes de zero e y neq 1, vamos ver quando cada termo pode ser zero:
  • y^2 neq 0 (já que y neq 0)
  • z neq 0
  • Então, para o produto ser zero, precisamos que x^2 - x = 0
Isso acontece quando:
x(x - 1) = 0 implies x = 0 ou x = 1
Mas x neq 0, então x = 1

Passo 10

Com x = 1, quais valores de y e z satisfazem as condições?
  • y in N e y neq 1
  • z in N
Portanto, y pode ser qualquer número natural maior que 1 e z qualquer número natural diferente de zero.

Resposta

Todos os tripletos (x, y, z) com x = 1, y in N e y neq 1, e z in N satisfazem det(B) = 0. Ou seja:
x = 1, y in N setminus 1, z in N

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