Beleza, temos um exercício onde precisamos mostrar que o plano , ou seja, em , é gerado pelos vetores , e . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre geração de espaços vetoriais e combinações lineares, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que um conjunto de vetores gera um espaço vetorial. Isso quer dizer que qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores do conjunto. Ou seja, precisamos mostrar que qualquer vetor do plano pode ser escrito como:
onde são escalares reais.
Passo 3
Vamos expandir a combinação linear:
Agora, igualamos as componentes correspondentes:
Passo 4
Temos um sistema de equações com três variáveis ( c = 2alpha + 3beta + gamma Rightarrow gamma = c - 2alpha - 3beta ) e duas equações. Vamos resolver esse sistema. Podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, vamos resolver para a partir da segunda equação.
Da segunda equação:
Passo 5
Substituímos b = alpha + 2beta + 3(c - 2alpha - 3beta) = alpha + 2beta + 3c - 6alpha - 9beta = -5alpha -7beta + 3c na primeira equação:
5alpha + 7beta = 3c - b
Vamos reorganizar para encontrar e :
Isso nos dá uma relação entre e . Podemos escolher um valor para e resolver para , por exemplo, definindo , onde é um parâmetro real.
Passo 6
Assumindo 5alpha + 7t = 3c - b Rightarrow alpha = 3c - b - 7t5 , então:
Portanto, qualquer vetor no plano pode ser escrito como combinação linear dos vetores dados, escolhendo apropriado. Isso mostra que os vetores , e realmente geram o plano .
Resposta
Conseguimos mostrar que qualquer vetor no plano pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores , e . Portanto, o plano é gerado por esses vetores.