Seja
. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar os critérios de subespaço que envolvem três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se
contém o vetor zero. O vetor zero em
é
. Aqui, o componente
, que é um número inteiro (
). Então, o vetor zero está em
. Essa é a primeira condição satisfeita!
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Vamos pegar
e
em
. Como
e
são inteiros, a soma
também é um inteiro (
é fechado sob adição). Portanto,
está em
. Então, a segunda condição também está ok!
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se pegarmos qualquer vetor em
e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado deve estar em
. Vamos pegar
em
e um escalar
. Multiplicando, temos
. Aqui,
precisa ser um inteiro para que o vetor resultante esteja em
. Porém, se
não for inteiro,
pode não ser inteiro. Por exemplo, se
e
, então
, que é inteiro, mas se
,
, que não é inteiro. Então,
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
não satisfaz todas as condições de subespaço (falha na multiplicação por escalar),
não é um subespaço de
.