Seja V=R^3. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V.
W=(x, y, z) in V: x in Z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos usar os critérios de subespaço que envolvem três condições principais: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se contém o vetor zero. O vetor zero em é . Aqui, o componente , que é um número inteiro ( ). Então, o vetor zero está em . Essa é a primeira condição satisfeita!

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em . Vamos pegar e em . Como e são inteiros, a soma também é um inteiro ( é fechado sob adição). Portanto, está em . Então, a segunda condição também está ok!

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se pegarmos qualquer vetor em e multiplicarmos por um número real qualquer, o resultado deve estar em . Vamos pegar em e um escalar . Multiplicando, temos . Aqui, precisa ser um inteiro para que o vetor resultante esteja em . Porém, se não for inteiro, pode não ser inteiro. Por exemplo, se e , então , que é inteiro, mas se , , que não é inteiro. Então, não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como não satisfaz todas as condições de subespaço (falha na multiplicação por escalar), não é um subespaço de .

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