Sabemos que uma base de \mathbb{R}^3 é um conjunto de três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3. Já temos dois vetores; precisamos encontrar um terceiro que, junto com w_1 e w_2, forme um conjunto de três vetores independentes.
Passo 2
Primeiro, verificamos que w_{1}\) e \(w_{2}\) são linearmente independentes. Suponha que existam escalares \(\alpha,\beta\) tais que
\[\alpha\,w_{1} + \beta\,w_{2} = (0,0,0).
Somando as duas, vem \beta=0\], e então \(\alpha=0. Logo, só a combinação trivial anula w_1 e w_2, provando que são independentes.
Passo 3
Agora, escolhemos um vetor w_{3} que não esteja no subespaço gerado por w_{1} e w_{2}. Note que todo vetor da forma a\,w_1+b\,w_2 tem componente z=0. Basta, portanto, escolher um vetor com componente z\neq0. Por exemplo,
w_{3} = (0,0,1).
Esse vetor não pode ser escrito como combinação de w_1 e w_2, pois qualquer combinação desses teria terceira coordenada zero, diferente de 1.
Passo 4
O conjunto \{w_{1},w_{2},w_{3}\} tem três vetores e demonstramos que são linearmente independentes. Em \mathbb{R}^3, qualquer conjunto de três vetores independentes é uma base. Portanto,