Determine (com as devidas justificativas):
( 1,0 ponto) Uma base do espaço \mathbb{R}^{3} que contém os vetores w_{1}=(1,-1,0) e w_{2}= (2,-1,0).

Passo 1

O enunciado pede uma base de \mathbb{R}^3 que já contenha os vetores
w_{1} = (1,-1,0) \quad\text{e}\quad w_{2} = (2,-1,0).
Sabemos que uma base de \mathbb{R}^3 é um conjunto de três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3. Já temos dois vetores; precisamos encontrar um terceiro que, junto com w_1 e w_2, forme um conjunto de três vetores independentes.

Passo 2

Primeiro, verificamos que w_{1}\) e \(w_{2}\) são linearmente independentes. Suponha que existam escalares \(\alpha,\beta\) tais que \[\alpha\,w_{1} + \beta\,w_{2} = (0,0,0).
Isso dá o sistema
\begin{cases} \alpha\cdot1 + \beta\cdot2 = 0,\\\ \alpha\cdot(-1) + \beta\cdot(-1) = 0,\\\ \alpha\cdot0 + \beta\cdot0 = 0. \end{cases}
Da terceira equação não se obtém restrição; da primeira e segunda:
\begin{cases} \alpha + 2\beta = 0,\\\\ -\,\alpha - \beta = 0. \end{cases}
Somando as duas, vem \beta=0\], e então \(\alpha=0. Logo, só a combinação trivial anula w_1 e w_2, provando que são independentes.

Passo 3

Agora, escolhemos um vetor w_{3} que não esteja no subespaço gerado por w_{1} e w_{2}. Note que todo vetor da forma a\,w_1+b\,w_2 tem componente z=0. Basta, portanto, escolher um vetor com componente z\neq0. Por exemplo,
w_{3} = (0,0,1).
Esse vetor não pode ser escrito como combinação de w_1 e w_2, pois qualquer combinação desses teria terceira coordenada zero, diferente de 1.

Passo 4

O conjunto \{w_{1},w_{2},w_{3}\} tem três vetores e demonstramos que são linearmente independentes. Em \mathbb{R}^3, qualquer conjunto de três vetores independentes é uma base. Portanto,
\{(1,-1,0),\,(2,-1,0),\,(0,0,1)\}
é uma base de \mathbb{R}^3 que contém w_1 e w_2.

Resposta

A base proposta é
\bigl\{(1,-1,0),\;(2,-1,0),\;(0,0,1)\bigr\}.

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