(2,0 pontos) Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
a) ( ) W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=x y\right\} é um subespaço do espaço vetorial \mathbb{R}^{3}.
b) ( ) \beta=\left\{1+t, 2 t-t^{2}, 3 t^{2}\right\} é uma base do espaço vetorial P_{2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado tem dois itens sobre espaços vetoriais em que vamos aplicar conceitos básicos:
  1. Para decidir se
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z=xy\}
é subespaço de \mathbb{R}^3, usamos o critério de subespaço: conter o vetor zero e ser fechado em soma e multiplicação escalar.
2. Para decidir se
\beta=\{\,1+t,\;2t-t^2,\;3t^2\}
é base de P_2(\mathbb{R}), verificamos se os três polinômios são linearmente independentes (LI) e, como \dim P_2=3, isso basta para ser base.

Passo 2

Verificando W como subespaço:
  • O vetor zero (0,0,0) satisfaz 0=0\cdot0, então 0\in W.
  • Para testar fechamento, considere \mathbf{u}=(1,0,0)\in W (pois 0=1\cdot0) e \mathbf{v}=(0,1,0)\in W (pois 0=0\cdot1).
    A soma \mathbf{u}+\mathbf{v}=(1,1,0) não satisfaz 0=1\cdot1.
    Logo, W não é fechado sob adição e não é subespaço.

Passo 3

Verificando \beta\) como base de \(P_2(\mathbb{R})\): Considere a combinação linear nula \[a(1+t)+b(2t-t^2)+c(3t^2)=0\quad\forall t.
Num bloco isolado:
\begin{cases} a=0,\\\ a+2b=0,\\\\ -b+3c=0. \end{cases}
Da primeira equação a=0\]; da segunda \(2b=0\Rightarrow b=0; da terceira 3c=0\Rightarrow c=0.
Só há solução trivial, então os três polinômios são LI. Como o espaço tem dimensão 3 e temos 3 vetores LI, \beta é base de P_2(\mathbb{R}).

Resposta

(a) F
(b) V

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