Determine (com as devidas justificativas):
(1,0 ponto) Uma base do subespaço W_{1}=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=2 x+y\right\} do \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede uma base do subespaço
W_{1}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z=2x+y\}.
O conteúdo é achar um conjunto de vetores que gere W_{1} e seja linearmente independente.

Passo 2

Como a condição é z=2x+y, podemos tomar x e y como parâmetros livres. Logo, um vetor genérico de W_{1} é
(x,y,z)=(x,y,2x+y).

Passo 3

Reescrevendo em combinação linear de x e y, temos
(x,y,2x+y)=x\,(1,0,2)+y\,(0,1,1).
Logo
W_{1}=\mathrm{span}\{(1,0,2),(0,1,1)\}.

Passo 4

Para verificar independência, suponha
a\,(1,0,2)+b\,(0,1,1)=(0,0,0).
Isso dá o sistema
\begin{cases} a=0,\\\ b=0,\\\\ 2a+b=0. \end{cases}
Da primeira equação vem a=0, da segunda b=0. Portanto os vetores são linearmente independentes.

Resposta

\{(1,0,2),\,(0,1,1)\}

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