Determine (com as devidas justificativas):
(1,0 ponto) A dimensão do subespaço U=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}a+b & 2 c-b \\\ a+2 c & 0\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in \mathbb{R}\right\} de M_{2 \times 2}(I R).

Passo 1

O enunciado define o subespaço
U = \left\{\begin{pmatrix}a+b & 2c-b\\[6pt]a+2c & 0\end{pmatrix}\;\Big|\;a,b,c\in\mathbb{R}\right\}
de M_{2\times2}(\mathbb{R}). Queremos a dimensão de U. Para isso, note que há um operador linear
T:\mathbb{R}^3\longrightarrow M_{2\times2}(\mathbb{R}), \quad T(a,b,c)=\begin{pmatrix}a+b & 2c-b\\[3pt]a+2c & 0\end{pmatrix},
cuja imagem é exatamente U. Usaremos o Teorema do Posto-Nulidade:
\dim U = \dim\bigl(\mathrm{Im}\,T\bigr) = \dim(\mathbb{R}^3) - \dim\bigl(\ker T\bigr).]

Passo 2

Calculamos o núcleo de T\) resolvendo \[T(a,b,c) = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix} \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} a + b = 0,\\\\ 2c - b = 0,\\\ a + 2c = 0. \end{cases}
Da primeira equação b=-a\]. Substituindo na segunda, \(2c -(-a)=0 c=-\tfrac a2. A terceira a+2c=0 já se satisfaz com esses valores. Logo
\ker T = \{(a,-a,-\tfrac a2)\mid a\in\mathbb{R}\},
que é um subespaço de dimensão 1.

Passo 3

Pelo Teorema do Posto–Nulidade,
\dim U = 3 - \dim(\ker T) = 3 - 1 = 2.

Passo 4

Para deixar explícita uma base de U, podemos escrever
T(a,b,c) = a\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0&2\\\ 2&0\end{pmatrix}.
Como \dim U=2, dentre esses três vetores escolhemos dois independentes, por exemplo
\begin{pmatrix}1&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}1&-1\\\ 0&0\end{pmatrix},
que formam base de U.

Resposta

\dim U = 2.)

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