(2,0 pontos) Sejam V um espaço vetorial de dimensão 3 e \beta=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} e \gamma= \left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\} bases de V. Sabendo que [I]_{\gamma}^{\beta}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\\\ 2 & 0 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right), que u_{1}=3 v_{1}+v_{2}-2 v_{3} e que u_{2}=w_{1}+w_{2}+w_{3}, determine \left[u_{1}\right]_{\gamma} \mathrm{e}\left[u_{2}\right]_{\beta}.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial de dimensão 3 com duas bases \beta=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} e \gamma=\{w_{1},w_{2},w_{3}\}, e a matriz de mudança de coordenadas
[I]_{\gamma}^{\beta}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 0 & 3\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
que satisfaz
[x]_{\gamma} \;=\;[I]_{\gamma}^{\beta}\,\bigl[x\bigr]_{\beta}.
Precisamos achar \,[u_{1}]_{\gamma} sabendo que u_{1}=3v_{1}+v_{2}-2v_{3} e \,[u_{2}]_{\beta} sabendo que u_{2}=w_{1}+w_{2}+w_{3}.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de u_{1} na base \beta. Como
u_{1}=3v_{1}+1\,v_{2}-2\,v_{3},
temos
[u_{1}]_{\beta}=\begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 3

Para obter \,[u_{1}]_{\gamma}, multiplicamos
[u_{1}]_{\gamma} =\;[I]_{\gamma}^{\beta}\,[u_{1}]_{\beta} =\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 0 & 3\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}.
Fazendo o produto de matrizes, vem
[u_{1}]_{\gamma} =\begin{pmatrix} 1\cdot3+(-1)\cdot1+1\cdot(-2)\\\\ 2\cdot3+0\cdot1+3\cdot(-2)\\\\ 0\cdot3+1\cdot1+0\cdot(-2) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Como u_{2}=w_{1}+w_{2}+w_{3}, suas coordenadas na base \gamma são
[u_{2}]_{\gamma}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Queremos [u_{2}]_{\beta}\). Da relação \[[I]_{\gamma}^{\beta}\,[u_{2}]_{\beta}=[u_{2}]_{\gamma}
temos o sistema para [u_{2}]_{\beta}=(a,b,c)^{T}:
\begin{cases} a - b + c = 1,\\\\ 2a +3c =1,\\\ b =1. \end{cases}
Da terceira equação b=1\]. Substituindo na primeira, \(a+c=2. Na segunda, 2a+3c=1. Resolvendo, c=-3 e a=5. Logo
[u_{2}]_{\beta}=\begin{pmatrix}5\\\ 1\\\ -3\end{pmatrix}.

Resposta

[u_{1}]_{\gamma}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}, \qquad [u_{2}]_{\beta}=\begin{pmatrix}5\\\ 1\\\ -3\end{pmatrix}.

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