Determine (com as devidas justificativas):
(1,0 ponto) A dimensão do subespaço U=\left[\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 3 & -2\end{array}\right)\right] de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço
U=\Bigl[\;A,\;B,\;C\Bigr]\subset M_{2\times2}(\mathbb{R}),
onde
A=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2 & -1\\[3pt]3 & -2\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]3 & -2\end{pmatrix}.
Para achar \dim(U) precisamos verificar quantas dessas matrizes são linearmente independentes.]

Passo 2

Uma forma prática é identificar cada matriz com um vetor em \mathbb{R}^4 pela ordenação
M=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\m_{21}&m_{22}\end{pmatrix} \longmapsto (m_{11},\,m_{12},\,m_{21},\,m_{22}).
Assim
A\mapsto(-1,\,1,\,0,\,0),\quad B\mapsto(2,\,-1,\,3,\,-2),\quad C\mapsto(0,\,1,\,3,\,-2).

Passo 3

Procuramos uma relação
\alpha A+\beta B+\gamma C=0.
Em coordenadas, isso é
\alpha(-1,1,0,0)+\beta(2,-1,3,-2)+\gamma(0,1,3,-2)=(0,0,0,0).
Comparando componentes, nota-se facilmente que
B - C = (2,-1,3,-2)-(0,1,3,-2)=(2,-2,0,0)
e
2\,A = 2(-1,1,0,0)=(-2,2,0,0).
Logo
B - C = -\bigl(2\,A\bigr) \quad\Longrightarrow\quad B = C - 2\,A.
Isso mostra que B é combinação de A e C, ou seja, apenas duas matrizes são independentes.

Passo 4

Como há exatamente duas matrizes linearmente independentes em \{A,B,C\}, concluímos que
\dim(U)=2.
Além disso, uma base explícita é, por exemplo, \{A,C\}.

Resposta

2

Exercícios relacionados