1. (2,0 pontos) Considerando os seguintes subespaços de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) :
W=\left\{A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \mid A \text { é simétrica }\right\} \quad \text { e } \quad U=\left[\left(\begin{array}{cc} -1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 2 & -1 \\\\ 3 & -2 \end{array}\right)\right]éé
determine uma base de U \cap W e a dimensão de U+W.

Passo 1

O enunciado trata de dois subespaços de M_{2\times2}(\mathbb{R}): W=\{A\mid A é simétrica \} e U=\bigl[\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 3 & -2\end{pmatrix}\bigr].
Queremos (i) uma base de U\cap W e (ii) a dimensão de U+W. Para isso, vamos
– escrever um elemento genérico de U,
– impor a condição de simetria,
– achar \dim(U\cap W),
– usar a fórmula \dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W).

Passo 2

Um elemento geral de U é
M=\alpha\begin{pmatrix}-1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 3 & -2\end{pmatrix}.
Somando termos, obtemos
M=\begin{pmatrix} -\alpha+2\beta & \alpha-\beta\\\\ 3\beta & -2\beta \end{pmatrix}.

Passo 3

Para M ser simétrica, precisa valer M_{12}=M_{21}. Assim,
\alpha-\beta=3\beta \quad\Longrightarrow\quad \alpha=4\beta.
Substituindo \alpha=4\beta em M, com \beta=t, vem
M=t\begin{pmatrix} -4+2 & 4-1\\\\ 3 & -2 \end{pmatrix} =t\begin{pmatrix} -2 & 3\\\\ 3 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Logo
U\cap W =\Bigl\{\,t\begin{pmatrix}-2 & 3\\\ 3 & -2\end{pmatrix}\mid t\in\mathbb{R}\Bigr\},
que é de dimensão 1 e tem base
\left\{\begin{pmatrix}-2 & 3\\\ 3 & -2\end{pmatrix}\right\}.

Passo 5

Sabemos \dim U=2 (os dois geradores são independentes) e \dim W=3 (matrizes simétricas 2\times2 têm três graus de liberdade). Pela fórmula
\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W) =2+3-1=4.

Resposta

A base de U\cap W é
\left\{\begin{pmatrix}-2 & 3\\\ 3 & -2\end{pmatrix}\right\},
e \dim(U+W)=4.

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