Determine (com as devidas justificativas):
( 1,0 ponto) O valor de k \in \mathbb{R} tal que u=(2 k,-4,-k) \in[(1,-2,2),(4,0,-3)].

Passo 1

O enunciado pede que o vetor u=(2k,-4,-k) pertença ao subespaço gerado pelos vetores (1,-2,2) e (4,0,-3). Em outras palavras, queremos que
u\in[(1,-2,2),(4,0,-3)]
signifique que existe combinação linear
u=\alpha\,(1,-2,2)+\beta\,(4,0,-3).

Passo 2

Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} 2k = \alpha + 4\beta,\\\\ -4 = -2\alpha + 0\beta,\\\\ -k = 2\alpha - 3\beta. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação
-4 = -2\alpha
segue
\alpha = 2.

Passo 4

Substituindo \alpha=2 na terceira equação
-k = 2\cdot2 - 3\beta
temos
-k = 4 - 3\beta \quad\Longrightarrow\quad \beta = \frac{4 + k}{3}.

Passo 5

Agora usamos \alpha=2 e \beta=(4+k)/3 na primeira equação
2k = \alpha + 4\beta = 2 + 4\!\biggl(\frac{4+k}{3}\biggr) = \frac{22 + 4k}{3}.
Multiplicando por 3:
6k = 22 + 4k \quad\Longrightarrow\quad 2k = 22 \quad\Longrightarrow\quad k = 11.

Resposta

k = 11

Exercícios relacionados