Determine (com as devidas justificativas):
(1,0 ponto [I]_{\beta}^{\alpha}, onde \alpha=\{(0,3),(1,-4)\} e \beta=\{(1,1),(2,1)\} (bases do \mathbb{R}^{2} ).

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base dada pelo operador identidade I\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2
que leva coordenadas na base \alpha=\{(0,3),(1,-4)\} para coordenadas na base \beta=\{(1,1),(2,1)\}.
Para isso, vamos expressar cada vetor de \alpha como combinação linear dos vetores de \beta; essas combinações formam as colunas de [I]_\beta^\alpha.

Passo 2

Escrevemos o primeiro vetor de \alpha, \alpha_1=(0,3), como
x\,(1,1)+y\,(2,1)=(0,3).
Isso gera o sistema
\begin{cases} x+2y=0,\\\ x+y=3. \end{cases}

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos y=-3.
Substituindo em x+y=3 vem x=6.
Logo,
(0,3)=6\,(1,1)+(-3)\,(2,1),
então a coordenada de \alpha_1 em \beta é (6,-3).

Passo 4

Agora escrevemos o segundo vetor de \alpha\), \(\alpha_2=(1,-4)\), como \[u\,(1,1)+v\,(2,1)=(1,-4),
o que gera
\begin{cases} u+2v=1,\\\ u+v=-4. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira, v=5\] e, portanto, \(u=-9.
Assim,
(1,-4)=-9\,(1,1)+5\,(2,1),
e a coordenada de \alpha_2 em \beta é (-9,5).

Passo 5

A matriz [I]_\beta^\alpha tem como colunas esses vetores de coordenadas:
[I]_\beta^\alpha =\begin{pmatrix} 6 & -9\\\\ -3 & 5 \end{pmatrix}.

Resposta

[I]_\beta^\alpha =\begin{pmatrix} 6 & -9\\\\ -3 & 5 \end{pmatrix}.

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