Determine se A é diagonalizável. Se for, encontre uma matriz P que diagonaliza A e determine P^-1 A P.
(a) A=[ll-14 & 12 -20 & 17]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = -14 & 12 -20 & 17
e pede para verificar se A é diagonalizável. Para isso vamos usar o procedimento padrão de diagonalização: calcular os autovalores (raízes do polinômio característico), depois os autovetores correspondentes e, finalmente, montar a matriz P cujas colunas são esses autovetores. Se eles forem linearly independentes, P diagonaliza A.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
chiA(lambda)=detl(A-lambda Ir) =det -14-lambda &12 -20&17-lambda =(-14-lambda)(17-lambda)-12cdot(-20)
Desenvolvendo,
(-14-lambda)(17-lambda)= -14cdot17 + (14-17)lambda + lambda^2 = -238 -3lambda+lambda^2,
e como 12cdot(-20)=-240,
chiA(lambda)=lambda^2 -3lambda -238 +240 = lambda^2 -3lambda +2
As raízes são
lambda1=1, lambda2=2
(distintos), o que já indica que A é diagonalizável.

Passo 3

Agora encontramos um autovetor para cada autovalor.
Para lambda1=1, resolvemos (A-I)v=0:
A-I = -15 &12-20&16, -15x+12y=0 ;Longrightarrow; x=tfrac45y
Escolhendo y=5, obtemos
v1 = 45
Para lambda2=2, resolvemos (A-2I)v=0:
A-2I = -16&12-20&15, -16x+12y=0 ;Longrightarrow; x=tfrac34y
Escolhendo y=4, obtemos
v2 = 34
Os vetores v1 e v2 são linearmente independentes.

Passo 4

Montamos a matriz P cujas colunas são v1 e v2:
P = 4 & 3 5 & 4
O determinante de P é
det P = 4cdot4 -3cdot5 =16-15=1neq0,
logo P é invertível. Seu inverso, pelo adjunto em 2times2, é
P^-1 = 4 & -3 -5 & 4
Por construção,
P^-1AP = 1 & 0 0 & 2

Resposta

A matriz A é diagonalizável e uma escolha conveniente é
P = 4 & 3 5 & 4 , P^-1AP = 1 & 0 0 & 2

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