Encontre a equação característica, os autovalores e a base do autoespaços (autovetores) das seguintes matrizes:
(g) [rr-1 & 0 1 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para a matriz
A = -1 & 0[6pt]1 & 2
determinarmos
1 a equação característica,
2 os autovalores e
3 uma base para cada autoespaço (os autovetores).
O conteúdo envolve o cálculo do polinômio característico via det(A-lambda I), depois achar suas raízes e, para cada autovalor lambda, resolver (A-lambda I)x=0.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
detl(A - lambda Ir) = det-1-lambda & 0[4pt]1 & 2-lambda = (-1-lambda)(2-lambda) - 0cdot1
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detl(A - lambda Ir) = (-1-lambda)(2-lambda) = lambda^2 - lambda - 2 ]

Passo 3

A equação característica é
lambda^2 - lambda - 2 = 0
Fatorando, temos
(lambda-2)(lambda+1)=0,
de onde os autovalores são
lambda1=2 e lambda2=-1

Passo 4

Para lambda1=2 resolvemos
(A - 2I)x = 0 Longrightarrow -3 & 0[4pt]1 & 0 x1[4pt]x2 = 0[4pt]0
As equações são
-3x1=0, x1=0
Não há restrição em x2, então escolhemos x2=1. Um gerador do autoespaço é
(0,1)^T ]

Passo 5

Para lambda2=-1 resolvemos
(A + I)x = 0 Longrightarrow 0 & 0[4pt]1 & 3 x1[4pt]x2 = 0[4pt]0
A segunda linha dá
x1 + 3x2=0 ;Longrightarrow; x1=-3x2
Tomando x2=1, um gerador do autoespaço é
(-3,1)^T ]

Resposta

Equação característica: lambda^2 - lambda - 2 = 0.
Autovalores: lambda=2 e lambda=-1.
Bases dos autoespaços:
– para lambda=2: (0,1),
– para lambda=-1: (-3,1).

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