Encontre a equação característica, os autovalores e a base do autoespaços (autovetores) das seguintes matrizes:
(b) [ll0 & 3 4 & 0]

Passo 1

O enunciado pede para a matriz
A = 0 & 3 4 & 0
encontrar a equação característica, os autovalores e bases dos respectivos autoespaços. Isso faz parte do conteúdo de autovalores e autovetores de matrizes, em que primeiro montamos o polinômio característico det(A - lambda I)=0 e depois, para cada autovalor lambda, resolvemos (A-lambda I)v=0 para achar uma base do autoespaço.

Passo 2

Calculamos o determinante de A - lambda I:
A - lambda I = -lambda & 3[6pt]4 & -lambda
det(A - lambda I)=(-lambda)(-lambda)-3cdot4=lambda^2-12 ]

Passo 3

A equação característica é
lambda^2 - 12 = 0,
cuja solução dá os autovalores
lambda1 = 2raiz3 e lambda2 = -2raiz3.

Passo 4

Para resolvemos
Da primeira linha vem . Tomando por exemplo resulta . Assim uma base do autoespaço de é .]

Passo 5

Para fazemos
e obtemos . Escolhendo . Logo uma base do autoespaço de é .]

Resposta

Equação característica:
lambda^2 - 12 = 0
Autovalores: lambda1 = 2raiz3, lambda2 = -2raiz3.
Base do autoespaço de lambda1: Span(raiz3,2).
Base do autoespaço de lambda2: Span(raiz3,-2).

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