Encontre a equação característica, os autovalores e a base do autoespaços (autovetores) das seguintes matrizes:
(f) [ll0 & 0 0 & 0]

Passo 1

O enunciado pede a equação característica, os autovalores e a base dos autoespaços da matriz
A = 0 & 0 0 & 0
O conteúdo aqui é álgebra linear: para achar a equação característica usamos det(A - lambda I)=0 e, em seguida, encontramos os autovalores lambda. Depois, para cada autovalor resolvemos (A - lambda I)v=0 para obter o autoespaço correspondente.

Passo 2

Calculamos A - lambda I:
A - lambda I ;=; 0 & 0 0 & 0 -lambda & 0 0 & lambda =-lambda & 0 0 & -lambda
A seguir, o determinante:
det(A - lambda I) =det-lambda & 0 0 & -lambda =(-lambda)cdot(-lambda) =lambda^2

Passo 3

A equação característica é
lambda^2 = 0
que tem solução única lambda = 0 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Para lambda=0 resolvemos
(A - 0cdot I)v = A,v = 0
Como A é a matriz zero, essa equação é 0cdot v=0, ou seja, vale para todo vetor vinR^2. Logo, o autoespaço associado a lambda=0 é todo R^2. Uma base conveniente é
,10,,01

Resposta

Equação característica: lambda^2=0
Autovalor: lambda=0 (multiplicidade 2)
Base do autoespaço de lambda=0: (1,0)^T,,(0,1)^T

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