Determine se A é diagonalizável. Se for, encontre uma matriz P que diagonaliza A e determine P^-1 A P.
(b) A=[rr1 & 0 6 & -1]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
A = 1 & 0 6 & -1
é diagonalizável, e caso seja, encontrar uma matriz de passagem P que diagonaliza A e calcular
P^-1 A P
O conteúdo envolvido é diagonalização de matrizes pelo cálculo de autovalores e autovetores.

Passo 2

Para saber se A é diagonalizável, primeiro computamos o polinômio característico
det(A - lambda I) =det!1-lambda & 0 6 & -1-lambda =(1-lambda)(-1-lambda)-0cdot6 =-(1-lambda)(1+lambda) =lambda^2-1
As raízes são dadas por
lambda^2-1=0 Longrightarrow lambda = pm 1

Passo 3

Os autovalores lambda1=1 e lambda2=-1 são distintos. Como em R^2 uma matriz com dois autovalores distintos tem duas direções próprias linearmente independentes, concluímos que A é diagonalizável.

Passo 4

Agora achamos um autovetor para cada autovalor.
Para , resolvemos
da segunda linha vem , logo . Podemos escolher
Para , resolvemos
da primeira linha vem , logo . Podemos escolher

Passo 5

Formamos a matriz de passagem P cujas colunas são os autovetores v1 e v2:
P = 1 & 0 3 & 1
Como det P = 1, sua inversa é
P^-1 =111 & 0 -3 & 1 =1 & 0 -3 & 1
Calculando
P^-1 A P =1 & 0 -3 & 1 1 & 0 6 & -1 1 & 0 3 & 1 =1 & 0 0 & -1,
vemos que obtemos a matriz diagonal com entradas os autovalores.

Resposta

A matriz A é diagonalizável. Uma escolha de P e o resultado de P^-1AP são
P = 1 & 0 3 & 1, P^-1AP = 1 & 0 0 & -1

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