Determine se a matriz dada é diagonalizável:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz \r
é diagonalizável. Para isso precisamos encontrar os autovalores de
A resolvendo o polinômio característico
det(A - lambda I)=0 e depois checar se há três autovetores linearmente independentes.
Passo 2
Calculamos o determinante de
A - lambda I :\r
Expandindo pela primeira linha,\r
Passo 3
Calculando cada menor:\r
Logo,\r
Desenvolvendo,\r
Somando
-1-4lambda obtemos o polinômio característico\r
Passo 4
Para fatorar
lambda^3 - lambda^2 - lambda - 2 testamos
lambda=2 :
logo
lambda=2 é raiz. Fazendo divisão de polinômios,
As raízes de
lambda^2+lambda+1=0 são
Portanto os autovalores são
todos distintos no corpo dos complexos
C .
Passo 5
Teorema: uma matriz de ordem
n com
n autovalores distintos (no corpo em que a estamos considerando) é diagonalizável nesse corpo. \r
- Sobre
: os três autovalores são distintos, logo há três autovetores linearmente independentes eC é diagonalizável emA . \rC - Sobre
: somente um autovalor é real (R ), os outros são complexos, então não há três autovetores reais. Assimlambda=2 não é diagonalizável emA .R
Resposta
Em
C ,
A é diagonalizável (pois tem 3 autovalores distintos). \r
EmR ,
A não é diagonalizável (apenas um autovalor real).
Em