Determine se a matriz dada é diagonalizável:
(d) [rrr-1 & 0 & 1 -1 & 3 & 0 -4 & 13 & -1]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz \r
A = -1 & 0 & 1 -1 & 3 & 0 -4 & 13 & -1 \r
é diagonalizável. Para isso precisamos encontrar os autovalores de A resolvendo o polinômio característico det(A - lambda I)=0 e depois checar se há três autovetores linearmente independentes.

Passo 2

Calculamos o determinante de A - lambda I:\r
A - lambda I = -1-lambda & 0 & 1 -1 & 3-lambda & 0 -4 & 13 & -1-lambda \r
Expandindo pela primeira linha,\r
det(A - lambda I) = (-1-lambda)det!3-lambda&013&-1-lambda +1cdotdet!-1&3-lambda-4&13

Passo 3

Calculando cada menor:\r
det!3-lambda&013&-1-lambda =(3-lambda)(-1-lambda),
det!-1&3-lambda-4&13 =-1cdot13 -(-4)(3-lambda) =-13 +4(3-lambda) =-1-4lambda \r
Logo,\r
det(A - lambda I) =( -1-lambda)l[(3-lambda)(-1-lambda)r]+(-1-4lambda) \r
Desenvolvendo,\r
( -1-lambda)(-1-lambda)(3-lambda) =(1+lambda)^2(3-lambda)
=(1+2lambda+lambda^2)(3-lambda) =3+5lambda+lambda^2-lambda^3 \r
Somando -1-4lambda obtemos o polinômio característico\r
-lambda^3 + lambda^2 + lambda + 2=0 Long<=ftrightarrow lambda^3 - lambda^2 - lambda - 2=0

Passo 4

Para fatorar lambda^3 - lambda^2 - lambda - 2 testamos lambda=2:
2^3 -2^2 -2 -2 =8-4-2-2=0,
logo lambda=2 é raiz. Fazendo divisão de polinômios,
lambda^3 - lambda^2 - lambda - 2 = (lambda-2)(lambda^2 + lambda +1)
As raízes de lambda^2+lambda+1=0 são
lambda = -1pm iraiz32
Portanto os autovalores são
lambda1 = 2, lambda2,3 = -1pm iraiz32,
todos distintos no corpo dos complexos C.

Passo 5

Teorema: uma matriz de ordem n com n autovalores distintos (no corpo em que a estamos considerando) é diagonalizável nesse corpo. \r
  • Sobre C: os três autovalores são distintos, logo há três autovetores linearmente independentes e A é diagonalizável em C. \r
  • Sobre R: somente um autovalor é real ( lambda=2), os outros são complexos, então não há três autovetores reais. Assim A não é diagonalizável em R.

Resposta

Em C, A é diagonalizável (pois tem 3 autovalores distintos). \r
Em R, A não é diagonalizável (apenas um autovalor real).

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