Prove que a seguinte transformação linear é um isomorfismo e determine sua inversa.
T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+y-z,-x+2 z, 2 x+2 y+3 z).

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a transformação linear
TcolonR^3toR^3 dada por
T(x,y,z) = (,x+y-z,;-x+2z,;2x+2y+3z,)
é um isomorfismo (isto é, invertível) e em seguida determinar explicitamente T^-1. Vamos usar conceitos de matriz associada, determinante e resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Escrevendo em coordenadas canônicas, sua matriz em relação à base padrão é
pois

Passo 3

Para ver que T é inversível basta mostrar que det Aneq 0. Calculamos
det A =1cdotdet!0&22&3 -1cdotdet!-1&22&3 +(-1)cdotdet!-1&02&2
Agora,
det0&22&3=0cdot3-2cdot2=-4,
det-1&22&3=-1cdot3-2cdot2=-7,
det-1&02&2=-1cdot2-0cdot2=-2
Logo
det A =1cdot(-4)-1cdot(-7)+(-1)cdot(-2)=-4+7+2=5neq0
Como det A=5, concluímos que T é um isomorfismo.

Passo 4

Para achar
Da segunda equação vem (x=2z - v]. Substituindo na primeira:

Na terceira equação:

de onde

Então

Resposta

T é um isomorfismo pois det A=5neq0. Sua inversa T^-1colonR^3toR^3 é dada por, para todo (u,v,w),
T^-1(u,v,w) =l(,tfrac-4u -5v +2w5,;tfrac7u +5v -w5,;tfracw-2u5r)

Exercícios relacionados