Prove que a seguinte transformação linear é um isomorfismo e determine sua inversa. dada por .
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a transformação linear dada por
é um isomorfismo (isto é, invertível) e em seguida determinar explicitamente . Vamos usar conceitos de matriz associada, determinante e resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Escrevendo em coordenadas canônicas, sua matriz em relação à base padrão é
pois
Passo 3
Para ver que T é inversível basta mostrar que det Aneq 0. Calculamos
det A =1cdotdet!0&22&3 -1cdotdet!-1&22&3 +(-1)cdotdet!-1&02&2
Agora,
det0&22&3=0cdot3-2cdot2=-4,
det-1&22&3=-1cdot3-2cdot2=-7,
det-1&02&2=-1cdot2-0cdot2=-2
Logo
det A =1cdot(-4)-1cdot(-7)+(-1)cdot(-2)=-4+7+2=5neq0
Como det A=5, concluímos que T é um isomorfismo.
Passo 4
Para achar
Da segunda equação vem (x=2z - v]. Substituindo na primeira:
Na terceira equação:
de onde
Então
Resposta
T é um isomorfismo pois det A=5neq0. Sua inversa T^-1colonR^3toR^3 é dada por, para todo (u,v,w),