Determine se a matriz dada é diagonalizável:
(a) [ll2 & 0 1 & 2]

Passo 1

Estamos com a matriz
A = 2 & 0 1 & 2
e queremos saber se ela é diagonalizável. Para isso, vamos usar teoria de autovalores e autovetores: calculamos o polinômio característico, extraímos os autovalores com suas multiplicidades algébrica e geométrica, e comparamos.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico
chi(lambda) = det(A - lambda I) = det!2-lambda & 0 [6pt]1 & 2-lambda = (2-lambda)^2 ]

Passo 3

Do resultado, tiramos o autovalor
lambda = 2
com multiplicidade algébrica igual a 2.

Passo 4

Para achar os autovetores, resolvemos
Da segunda linha vem , e fica livre. Logo o espaço próprio tem dimensão , gerado por .]

Passo 5

Como a multiplicidade geométrica ( =1) é menor que a multiplicidade algébrica ( =2), não há base de R^2 formada por autovetores de A. Portanto, A não é diagonalizável.

Resposta

A matriz não é diagonalizável.

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