Se g(x, y, z)=raiz1+x z+raiz1-x y, determine gx y . [Dica: Use uma ordem de diferenciação diferente para cada termo.]

Passo 1

O enunciado define
g(x,y,z)=raiz1+xz+raiz1-xy
e pede a derivada mista gxy=partial^2 gpartial xpartial y. Vamos usar a linearidade da derivada e o fato de que as derivadas mistas podem ser calculadas em ordens convenientes para cada termo.

Passo 2

Para o primeiro termo raiz1+xz não há dependência em y. Logo,
partialpartial yl(raiz1+xzr)=0 Longrightarrow partial^2partial xpartial yl(raiz1+xzr)=0

Passo 3

No segundo termo raiz1-xy=(1-xy)^1/2, escolhemos primeiro derivar em y:
partialpartial yl((1-xy)^1/2r) =tfrac12(1-xy)^-1/2cdot(-x) =-x2raiz1-xy

Passo 4

Agora derivamos esse resultado em x. Defina
u(x)=-x, v(x)=12raiz1-xy,
então tfracpartialpartial yl(raiz1-xyr)=u(x),v(x). Usa-se a regra do produto:
u'(x)=-1, v'(x) =ddxl((2(1-xy)^1/2)^-1r) =y4(1-xy)^3/2
Logo
partial^2partial xpartial yl(raiz1-xyr) =u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =-12raiz1-xy -xy4(1-xy)^3/2
Para simplificar, colocamos sobre o mesmo denominador 4(1-xy)^3/2:
-2(1-xy)4(1-xy)^3/2 -xy4(1-xy)^3/2 =-2-2xy+xy4(1-xy)^3/2 =-2-xy4(1-xy)^3/2

Resposta

partial^2 gpartial xpartial y =-2-xy4,(1-xy)^3/2

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