Determine se a função u=x^2+y^2 é solução da equação de Laplace ux x+uy y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
u(x,y)=x^2+y^2
satisfaz a equação de Laplace
uxx+uyy=0
Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de u.

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas de primeira ordem:
ux=partialpartial x(x^2+y^2)=2x, uy=partialpartial y(x^2+y^2)=2y
Agora derivamos novamente para obter as derivadas de segunda ordem:
uxx=partialpartial x(2x)=2, uyy=partialpartial y(2y)=2

Passo 3

Formamos o Laplaciano somando as derivadas de segunda ordem:
uxx+uyy=2+2=4
Como o valor do Laplaciano é 4, que não é igual a zero, concluímos que u não satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

A função u=x^2+y^2 não é solução da equação de Laplace uxx+uyy=0.

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