Verifique se as séries seguintes convergem ou não:
sumn=1^infty (n!)^2 a^n2^n^2, a>0

Passo 1

O enunciado pede verificar se a série
sumn=1^infty (n!)^2 a^n2^n^2
com a>0 converge. O conteúdo aqui é testes de convergência de séries de termos gerais. Vamos usar o teste da razão, pois ele lida bem com fatoriais e expoentes.

Passo 2

Definimos o termo geral
un = (n!)^2 a^n2^n^2
Para usar o teste da razão, calculamos a razão entre termos consecutivos un+1/un.

Passo 3

un+1un = ((n+1)!)^2 a^n+12^(n+1)^2(n!)^2 a^n2^n^2 = ((n+1)!)^2(n!)^2 cdot a cdot 2^n^22^n^2+2n+1 = (n+1)^2 , a , 2^-2n -1

Passo 4

Agora, analisamos o limite
limntoinfty (n+1)^2 , a , 2^-2n-1
Como 2^2n+1 cresce muito mais rápido que qualquer polinômio em n, esse limite é 0.

Passo 5

O teste da razão afirma que se
L = limntoinfty |un+1un| < 1,
então a série converge absolutamente. Aqui encontramos L = 0 < 1, independentemente do valor de a>0. Logo, a série converge para todo a>0.

Resposta

A série
sumn=1^infty (n!)^2 a^n2^n^2
converge absolutamente para todo a>0.

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