Verifique se a função é diferenciável no ponto dado. Em caso positivo, encontre a linearização
da função naquele ponto.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável no ponto
. Se for diferenciável, devo encontrar a linearização
nesse ponto. Informações dadas e observações imediatas:
- A função está definida quando
(peguei isso diretamente da expressão ). - O ponto em questão é
, que pertence ao domínio pois . - Preciso decidir se existe uma aproximação linear em primeira ordem de
perto de . Se existir, essa linearização tem a forma
ou seja
com
e
.
Passo 2
Vou lembrar de forma bem didática o que significa diferenciável em
.
- Uma função
é diferenciável num ponto se existe uma aplicação linear (matriz 1×2) tal que, para o vetor de incremento pequeno,
onde o resto
satisfaz
- No caso habitual,
, onde e são as derivadas parciais no ponto. Assim, para ter diferenciabilidade é necessário (mas não suficiente em geral) que as derivadas parciais existam e sejam finitas no ponto. - Portanto, um passo natural é tentar calcular as derivadas parciais de
em e ver se elas existem e são finitas.
Passo 3
Calculo da derivada parcial em relação a
no ponto
. Pela definição
Aqui preciso cuidar: a função
só está definida quando
, ou seja, só existem incrementos
não negativos se eu permanecer no domínio. Então a derivada parcial usual exigiria limite bilateral
com
vindos de ambos os lados; mas para
a expressão
não está definida. Isso já indica que a derivada parcial por essa via não existe como limite bilateral finito. Podemos olhar o limite à direita
:
Portanto não existe um valor finito para
. Conclusão: a derivada parcial em
não existe como número real.
Passo 4
O mesmo ocorre para a derivada parcial em relação a
. Pela definição
e, pelo mesmo raciocínio, para
isso tende a
e para
não temos definição. Logo
também não existe como número real finito.
Passo 5
Argumento direto mostrando que não pode haver linearização finita. Suponha, por absurdo, que
fosse diferenciável em
. Então existiriam números reais
e
tais que a linearização seria
pois
. A condição de diferenciabilidade implica que, ao tomar
com
pequeno, o resto satisfaça
Mas
e o termo
tende a
quando
. Não existe
que faça essa expressão tender a
. Assim chega-se a uma contradição: não é possível existir uma aproximação linear com coeficientes finitos. Portanto
não é diferenciável em
.
Passo 6
Comentário didático final e motivador: a raiz quadrada tem derivada infinita na borda do seu domínio. Isso significa que, embora a função seja contínua em
(pois
), a inclinação é “muito íngreme” ao se aproximar por dentro do domínio, impedindo uma aproximação linear com coeficientes finitos. Em contraste, se estivéssemos em qualquer ponto
com
, a função é suave ali porque podemos escrever
com
e
é finito para
; nesses pontos as derivadas parciais existem e a linearização existe.
Resposta
A função não é diferenciável em
; portanto não existe linearização
com coeficientes finitos em
.