Verifique se a função é diferenciável no ponto dado. Em caso positivo, encontre a linearização L(x, y) da função naquele ponto.
f(x, y)=\sqrt{x+y},(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função \,f(x,y)=\sqrt{x+y}\, é diferenciável no ponto \,(0,0)\,. Se for diferenciável, devo encontrar a linearização L(x,y) nesse ponto. Informações dadas e observações imediatas:
  • A função está definida quando x+y\ge 0 (peguei isso diretamente da expressão \sqrt{x+y}).
  • O ponto em questão é (0,0), que pertence ao domínio pois 0+0=0\ge0.
  • Preciso decidir se existe uma aproximação linear em primeira ordem de f perto de (0,0). Se existir, essa linearização tem a forma
L(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)(x-0)+f_y(0,0)(y-0),
ou seja
L(x,y)=f(0,0)+a x + b y
com a=f_x(0,0) e b=f_y(0,0).

Passo 2

Vou lembrar de forma bem didática o que significa diferenciável em \mathbb{R}^2.
  • Uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável num ponto (a,b) se existe uma aplicação linear (matriz 1×2) D tal que, para o vetor de incremento (h,k) pequeno,
f(a+h,b+k)=f(a,b)+D(h,k)+r(h,k),
onde o resto r(h,k) satisfaz
\frac{r(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\to 0\quad\text{quando }(h,k)\to(0,0).
  • No caso habitual, D(h,k)=f_x(a,b)\,h+f_y(a,b)\,k, onde f_x e f_y são as derivadas parciais no ponto. Assim, para ter diferenciabilidade é necessário (mas não suficiente em geral) que as derivadas parciais existam e sejam finitas no ponto.
  • Portanto, um passo natural é tentar calcular as derivadas parciais de f em (0,0) e ver se elas existem e são finitas.

Passo 3

Calculo da derivada parcial em relação a x no ponto (0,0). Pela definição
f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h+0}-0}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h}}{h}.
Aqui preciso cuidar: a função \sqrt{x+y} só está definida quando h+0\ge0, ou seja, só existem incrementos h não negativos se eu permanecer no domínio. Então a derivada parcial usual exigiria limite bilateral h\to0 com h vindos de ambos os lados; mas para h<0 a expressão \sqrt{h} não está definida. Isso já indica que a derivada parcial por essa via não existe como limite bilateral finito. Podemos olhar o limite à direita h\to0^+:
\lim_{h\to 0^+}\frac{\sqrt{h}}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{1}{\sqrt{h}}=+\infty.
Portanto não existe um valor finito para f_x(0,0). Conclusão: a derivada parcial em x não existe como número real.

Passo 4

O mesmo ocorre para a derivada parcial em relação a y. Pela definição
f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,0+k)-f(0,0)}{k} =\lim_{k\to 0}\frac{\sqrt{k}}{k},
e, pelo mesmo raciocínio, para k\to0^+ isso tende a +\infty e para k<0 não temos definição. Logo f_y(0,0) também não existe como número real finito.

Passo 5

Argumento direto mostrando que não pode haver linearização finita. Suponha, por absurdo, que f fosse diferenciável em (0,0). Então existiriam números reais a e b tais que a linearização seria
L(x,y)=f(0,0)+a x + b y = a x + b y,
pois f(0,0)=\sqrt{0}=0. A condição de diferenciabilidade implica que, ao tomar (x,y)=(t,0) com t>0 pequeno, o resto satisfaça
\frac{f(t,0)-L(t,0)}{\sqrt{t^2+0^2}}=\frac{\sqrt{t}-a t}{|t|}\to 0\quad\text{quando }t\to0^+.
Mas
\frac{\sqrt{t}-a t}{|t|}=\frac{\sqrt{t}}{t}-a=\frac{1}{\sqrt{t}}-a,
e o termo \frac{1}{\sqrt{t}} tende a +\infty quando t\to0^+. Não existe a\in\mathbb{R} que faça essa expressão tender a 0. Assim chega-se a uma contradição: não é possível existir uma aproximação linear com coeficientes finitos. Portanto f não é diferenciável em (0,0).

Passo 6

Comentário didático final e motivador: a raiz quadrada tem derivada infinita na borda do seu domínio. Isso significa que, embora a função seja contínua em (0,0) (pois \sqrt{0}=0), a inclinação é “muito íngreme” ao se aproximar por dentro do domínio, impedindo uma aproximação linear com coeficientes finitos. Em contraste, se estivéssemos em qualquer ponto (a,b) com a+b>0, a função é suave ali porque podemos escrever f(x,y)=g(x+y) com g(u)=\sqrt{u} e g' é finito para u>0; nesses pontos as derivadas parciais existem e a linearização existe.

Resposta

A função não é diferenciável em (0,0); portanto não existe linearização L(x,y) com coeficientes finitos em (0,0).

Exercícios relacionados