Verifique se a função é diferenciável no ponto dado. Em caso positivo, encontre a linearização L(x, y) da função naquele ponto.
f(x, y)=e^{-x} \cos y,(\pi, 1)

Passo 1

O enunciado dá a função f e o ponto onde devemos verificar diferenciabilidade e, se diferenciável, achar a linearização:
f(x,y)=e^{-x}\cos y,\quad (\pi,1).
Perguntas que o enunciado faz:
  1. Verificar se f é diferenciável em (\pi,1).
  2. Em caso positivo, encontrar a linearização L(x,y) de f naquele ponto.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão analítica de f (produto de e^{-x} por \cos y).
  • O ponto onde avaliar: (\pi,1).

Passo 2

O que significa “diferenciável” e qual é a linearização:
  • Uma função de duas variáveis f(x,y) é diferenciável em um ponto (a,b) se existe uma aproximação linear que aproxima f localmente com erro muito pequeno. Formalmente, existe um mapa linear A tal que
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-A(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.
  • Quando f é diferenciável, a aproximação linear (linearização) é dada por
L(x,y)=f(a,b)+f_{x}(a,b)\,(x-a)+f_{y}(a,b)\,(y-b),
onde f_{x} e f_{y} são as derivadas parciais de f em relação a x e y, respectivamente. Aqui:
  • f(a,b) é o valor da função no ponto;
  • f_{x}(a,b) multiplica o deslocamento em x, x-a;
  • f_{y}(a,b) multiplica o deslocamento em y, y-b.
Suficiente para concluir diferenciabilidade na prática:
  • Se as derivadas parciais f_x e f_y existem num entorno do ponto e são contínuas nesse entorno, então f é diferenciável no ponto. Essa é uma condição prática muito usada em provas.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a x (tratar y como constante):
f(x,y)=e^{-x}\cos y.
Aqui \cos y é constante quando derivamos em relação a x. A derivada de e^{-x} em relação a x é -e^{-x}. Logo,
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-x}\cos y\bigr) = (-e^{-x})\cos y = -e^{-x}\cos y.
Expliquei: multipliquei a derivada de e^{-x} por \cos y.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de f em relação a y (tratar x como constante):
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{-x}\cos y\bigr).
Aqui e^{-x} é constante ao derivar em y. A derivada de \cos y é -\sin y. Portanto,
f_{y}(x,y)=e^{-x}\,(-\sin y) = -e^{-x}\sin y.

Passo 5

Avaliar f, f_{x} e f_{y} no ponto (\pi,1):
Calcule f(\pi,1):
f(\pi,1)=e^{-\pi}\cos 1.
Calcule f_{x}(\pi,1):
f_{x}(\pi,1) = -e^{-\pi}\cos 1.
Calcule f_{y}(\pi,1):
f_{y}(\pi,1) = -e^{-\pi}\sin 1.
(Em todas as três expressões, substituí x=\pi e y=1 nas fórmulas obtidas.)

Passo 6

Concluir sobre diferenciabilidade:
  • As funções básicas e^{-x}, \cos y, \sin y são contínuas e infinitamente diferenciáveis em todo \mathbb{R}^{2} quando combinadas por produtos e composições simples. As expressões para f_{x} e f_{y} mostradas nos Passos 3 e 4 são funções contínuas de (x,y).
  • Como f_{x} e f_{y} existem e são contínuas num entorno de (\pi,1), segue pela condição suficiente mencionada no Passo 2 que f é diferenciável em (\pi,1).

Passo 7

Formar a linearização usando a fórmula do Passo 2 e os valores do Passo 5:
L(x,y)=f(\pi,1)+f_{x}(\pi,1)\,(x-\pi)+f_{y}(\pi,1)\,(y-1).
Substituindo os valores:
L(x,y)=e^{-\pi}\cos 1 + \bigl(-e^{-\pi}\cos 1\bigr)(x-\pi) + \bigl(-e^{-\pi}\sin 1\bigr)(y-1).
Podemos fatorar e^{-\pi} para deixar mais compacto:
L(x,y)=e^{-\pi}\bigl(\cos 1 - \cos 1\,(x-\pi) - \sin 1\,(y-1)\bigr).

Resposta

Sim, f é diferenciável em (\pi,1).
L(x,y)=e^{-\pi}\cos 1 - e^{-\pi}\cos 1\,(x-\pi) - e^{-\pi}\sin 1\,(y-1).

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