Verifique se a função é diferenciável no ponto dado. Em caso positivo, encontre a linearização
da função naquele ponto.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto onde devemos verificar diferenciabilidade e, se diferenciável, achar a linearização:
Perguntas que o enunciado faz:
- Verificar se
é diferenciável em . - Em caso positivo, encontrar a linearização
de naquele ponto.
Informações relevantes dadas:
- A expressão analítica de
(produto de por ). - O ponto onde avaliar:
.
Passo 2
O que significa “diferenciável” e qual é a linearização:
- Uma função de duas variáveis
é diferenciável em um ponto se existe uma aproximação linear que aproxima localmente com erro muito pequeno. Formalmente, existe um mapa linear tal que
- Quando
é diferenciável, a aproximação linear (linearização) é dada por
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente. Aqui:
-
é o valor da função no ponto; -
multiplica o deslocamento em , ; -
multiplica o deslocamento em , .
Suficiente para concluir diferenciabilidade na prática:
- Se as derivadas parciais
e existem num entorno do ponto e são contínuas nesse entorno, então é diferenciável no ponto. Essa é uma condição prática muito usada em provas.
Passo 3
Calcular a derivada parcial de
em relação a
(tratar
como constante):
Aqui
é constante quando derivamos em relação a
. A derivada de
em relação a
é
. Logo,
Expliquei: multipliquei a derivada de
por
.
Passo 4
Calcular a derivada parcial de
em relação a
(tratar
como constante):
Aqui
é constante ao derivar em
. A derivada de
é
. Portanto,
Passo 5
Avaliar
,
e
no ponto
:
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
(Em todas as três expressões, substituí
e
nas fórmulas obtidas.)
Passo 6
Concluir sobre diferenciabilidade:
- As funções básicas
, , são contínuas e infinitamente diferenciáveis em todo quando combinadas por produtos e composições simples. As expressões para e mostradas nos Passos 3 e 4 são funções contínuas de . - Como
e existem e são contínuas num entorno de , segue pela condição suficiente mencionada no Passo 2 que é diferenciável em .
Passo 7
Formar a linearização usando a fórmula do Passo 2 e os valores do Passo 5:
Substituindo os valores:
Podemos fatorar
para deixar mais compacto:
Resposta
Sim,
é diferenciável em
.