Determine a diferencial da função:
z=e^{-2 x} \cos (2 \pi \theta)

Passo 1

O enunciado pede a diferencial de z = e^{-2x}\cos(2\pi\theta). O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e diferencial total para funções de duas variáveis. Vamos calcular \partial z/\partial x, \partial z/\partial \theta e, por fim, montar dz.

Passo 2

Para obter \partial z/\partial x tratamos \theta como constante e aplicamos a regra da cadeia em e^{-2x}:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}\bigr)\,\cos(2\pi\theta) = -2e^{-2x}\cos(2\pi\theta).

Passo 3

Para obter \partial z/\partial \theta tratamos x como constante e derivamos \cos(2\pi\theta):
\frac{\partial z}{\partial \theta} = e^{-2x}\,\frac{d}{d\theta}\bigl(\cos(2\pi\theta)\bigr) = e^{-2x}\bigl(-\sin(2\pi\theta)\bigr)\cdot2\pi = -2\pi e^{-2x}\sin(2\pi\theta).

Passo 4

A diferencial total de z(x,\theta) é
dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial \theta}\,d\theta = -2e^{-2x}\cos(2\pi\theta)\,dx -2\pi e^{-2x}\sin(2\pi\theta)\,d\theta.

Resposta

dz = -2e^{-2x}\cos(2\pi\theta)\,dx \;-\;2\pi e^{-2x}\sin(2\pi\theta)\,d\theta.

Exercícios relacionados