Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre sua linearização
neste ponto. Compare
e
num ponto próximo ao ponto dado.
.
Passo 1
Resumindo o que o enunciado pede: temos a função
e o ponto
. Primeiro, explicar por que
é diferenciável em
. Depois, achar a linearização
em
e, por fim, comparar
e
num ponto próximo a
. O conteúdo principal aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e construção de linearização via derivadas parciais.
Passo 2
Justificar diferenciabilidade em
:
-
é um polinômio em e . - Polinômios têm derivadas parciais de todas as ordens, e essas derivadas são contínuas em
. - Teorema: se as derivadas parciais existem e são contínuas num entorno de um ponto, então a função é diferenciável naquele ponto.
Logo,é diferenciável em .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
e avaliá-las em
:
Em
:
Também
.
Passo 4
Construir a linearização
em
. A fórmula é
Substituindo os valores:
Passo 5
Comparar
e
num ponto próximo a
. Vamos tomar
:
- Calcular
:
- Calcular
:
A diferença é
que é bem pequena. Isso mostra como
aproxima bem
perto de
.
Resposta
A função é diferenciável em
porque é polinomial (suas derivadas parciais existem e são contínuas). A linearização é
e num ponto próximo, como
, temos
e
, bem próximos entre si.