Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre sua linearização L(x, y) neste ponto. Compare f(x, y) e L(x, y) num ponto próximo ao ponto dado.
f(s, t)=s^{3} t^{4}, \quad P=(1,1).

Passo 1

Resumindo o que o enunciado pede: temos a função
f(s,t)=s^{3}t^{4}
e o ponto P=(1,1). Primeiro, explicar por que f é diferenciável em P. Depois, achar a linearização L(x,y) em P e, por fim, comparar f e L num ponto próximo a P. O conteúdo principal aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e construção de linearização via derivadas parciais.

Passo 2

Justificar diferenciabilidade em P:
  1. f(s,t)=s^{3}t^{4} é um polinômio em s e t.
  2. Polinômios têm derivadas parciais de todas as ordens, e essas derivadas são contínuas em \mathbb{R}^2.
  3. Teorema: se as derivadas parciais existem e são contínuas num entorno de um ponto, então a função é diferenciável naquele ponto.
    Logo, f é diferenciável em P=(1,1).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f e avaliá-las em P:
\frac{\partial f}{\partial s}(s,t) =3s^{2}t^{4}, \quad \frac{\partial f}{\partial t}(s,t) =4s^{3}t^{3}.
Em P=(1,1):
\frac{\partial f}{\partial s}(1,1)=3\cdot1^{2}\cdot1^{4}=3, \qquad \frac{\partial f}{\partial t}(1,1)=4\cdot1^{3}\cdot1^{3}=4.
Também f(1,1)=1^{3}\cdot1^{4}=1.

Passo 4

Construir a linearização L(x,y) em P. A fórmula é
L(x,y) =f(1,1) +\frac{\partial f}{\partial s}(1,1)\,(x-1) +\frac{\partial f}{\partial t}(1,1)\,(y-1).
Substituindo os valores:
L(x,y) =1 +3\,(x-1)+4\,(y-1) =1+3x-3+4y-4 =3x+4y-6.

Passo 5

Comparar f e L num ponto próximo a P. Vamos tomar (x,y)=(1,02,0,98):
  1. Calcular f(1,02,0,98):
f(1,02,0,98) =(1,02)^{3}\,(0,98)^{4} \approx1,0612\cdot0,9224 \approx0,9782.
  1. Calcular L(1,02,0,98):
L(1,02,0,98) =3\cdot1,02+4\cdot0,98-6 =3,06+3,92-6 =0,98.
A diferença é
|f(1,02,0,98)-L(1,02,0,98)| \approx|0,9782-0,98| =0,0018,
que é bem pequena. Isso mostra como L aproxima bem f perto de (1,1).

Resposta

A função é diferenciável em P porque é polinomial (suas derivadas parciais existem e são contínuas). A linearização é
L(x,y)=3x+4y-6,
e num ponto próximo, como (1,02,0,98), temos f\approx0,9782 e L\approx0,98, bem próximos entre si.

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