Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre sua linearização
neste ponto. Compare
e
num ponto próximo ao ponto dado.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para mostrar que ela é diferenciável em
, obter sua linearização
nesse ponto e comparar
e
num ponto próximo. O conteúdo aqui é diferencial de funções de duas variáveis, usando a existência de derivadas parciais contínuas para garantir a diferenciabilidade e a fórmula da linearização.
Passo 2
Como a exponencial
e o cosseno
são funções suaves, as derivadas parciais de
existem e são contínuas em todo
. Vamos calcular essas derivadas parciais:
Passo 3
Agora avaliamos em
:
Passo 4
A linearização de
em
é dada por
que fica
Passo 5
Escolhendo um ponto próximo, por exemplo
, temos
Os valores
e
estão bem próximos, o que confirma que
aproxima
adequadamente em torno de
.
Resposta
A função é diferenciável em
pois suas derivadas parciais existem e são contínuas ali. A linearização é
e em um ponto próximo os valores de
e
são numericamente muito semelhantes.