Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre sua linearização L(x, y) neste ponto. Compare f(x, y) e L(x, y) num ponto próximo ao ponto dado.
f(r, \theta)=e^{-r \theta} \cos (\theta), \quad P=(\pi, 0)

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(r,\theta)=e^{-r\theta}\cos(\theta)
e pede para mostrar que ela é diferenciável em P=(\pi,0), obter sua linearização L(r,\theta) nesse ponto e comparar f e L num ponto próximo. O conteúdo aqui é diferencial de funções de duas variáveis, usando a existência de derivadas parciais contínuas para garantir a diferenciabilidade e a fórmula da linearização.

Passo 2

Como a exponencial e^{-r\theta} e o cosseno \cos(\theta) são funções suaves, as derivadas parciais de f existem e são contínuas em todo \mathbb{R}^2. Vamos calcular essas derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial r} =\frac{\partial}{\partial r}\bigl(e^{-r\theta}\cos\theta\bigr) =-\theta\,e^{-r\theta}\cos(\theta),
\frac{\partial f}{\partial \theta} =\frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(e^{-r\theta}\bigr)\cos(\theta) +e^{-r\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(\cos(\theta)\bigr) =-r\,e^{-r\theta}\cos(\theta)\;-\;e^{-r\theta}\sin(\theta).

Passo 3

Agora avaliamos em P=(\pi,0):
f(\pi,0)=e^{-\pi\cdot0}\cos(0)=1\cdot1=1,
\frac{\partial f}{\partial r}(\pi,0) =-0\cdot e^{0}\cos(0)=0,
\frac{\partial f}{\partial \theta}(\pi,0) =-\pi\,e^{0}\cos(0)\;-\;e^{0}\sin(0)=-\pi\;-\;0=-\pi.

Passo 4

A linearização de f em P é dada por
L(r,\theta) =f(\pi,0) +\frac{\partial f}{\partial r}(\pi,0)\,(r-\pi) +\frac{\partial f}{\partial \theta}(\pi,0)\,(\theta-0),
que fica
L(r,\theta) =1+0\cdot(r-\pi)+(-\pi)\,\theta =1-\pi\,\theta.

Passo 5

Escolhendo um ponto próximo, por exemplo \,Q=(\pi+0,1,\;0,05), temos
f(Q) =e^{-(\pi+0,1)\,0,05}\,\cos(0,05) \approx e^{-0,05\pi-0,005}\cdot0,99875 \approx0,8505\cdot0,99875\approx0,8495,
L(Q)=1-\pi\cdot0,05\approx1-0,1571=0,8429.
Os valores f(Q)\approx0,8495 e L(Q)\approx0,8429 estão bem próximos, o que confirma que L aproxima f adequadamente em torno de P.

Resposta

A função é diferenciável em P pois suas derivadas parciais existem e são contínuas ali. A linearização é
L(r,\theta)=1-\pi\,\theta,
e em um ponto próximo os valores de f e L são numericamente muito semelhantes.

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