Determine o diferencial total para as funções abaixo:
f(x, y, z)=e^{x y z}-x y

Passo 1

O enunciado pede o diferencial total da função
f(x,y,z) = e^{x y z} \;-\; x\,y.
O conteúdo aqui é derivadas parciais: para formar o diferencial total
\mathrm df = f_x\,\mathrm dx + f_y\,\mathrm dy + f_z\,\mathrm dz,
precisamos calcular cada derivada parcial f_x, f_y e f_z.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x.
Para e^{x y z}, tratamos y e z como constantes, então
\frac{\partial}{\partial x} e^{x y z} = y\,z \,e^{x y z}.
Para -x\,y, a derivada em x é -y.
Logo,
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = y\,z \,e^{x y z} \;-\; y.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a y.
Para e^{x y z}, agora x e z são constantes, então
\frac{\partial}{\partial y} e^{x y z} = x\,z \,e^{x y z}.
Para -x\,y, a derivada em y é -x.
Logo,
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x\,z \,e^{x y z} \;-\; x.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de f em relação a z.
No termo e^{x y z}, x e y são constantes, logo
\frac{\partial}{\partial z} e^{x y z} = x\,y \,e^{x y z}.
E o termo -x\,y não depende de z, então sua derivada é zero.
Portanto,
f_z = \frac{\partial f}{\partial z} = x\,y \,e^{x y z}.

Passo 5

Montamos o diferencial total juntando tudo:
\mathrm df = f_x\,\mathrm dx + f_y\,\mathrm dy + f_z\,\mathrm dz = \bigl(y\,z \,e^{x y z} - y\bigr)\,\mathrm dx + \bigl(x\,z \,e^{x y z} - x\bigr)\,\mathrm dy + \bigl(x\,y \,e^{x y z}\bigr)\,\mathrm dz.

Resposta

\mathrm df = \bigl(y\,z \,e^{x y z} - y\bigr)\,\mathrm dx + \bigl(x\,z \,e^{x y z} - x\bigr)\,\mathrm dy + \bigl(x\,y \,e^{x y z}\bigr)\,\mathrm dz.

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