Encontre a área da região limitada pelas curvas dadas (faça o esboço da região)
y=x+1, y=9-x^{2}, x=-1 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = x + 1,
y = 9 - x^{2},
e pelas retas verticais
x = -1 \quad\text{e}\quad x = 2.
O conteúdo é cálculo de área por integração: precisamos determinar qual função está acima da outra no intervalo de x=-1 a x=2, montar a integral da diferença e calculá-la.

Passo 2

Para ver qual curva é a superior entre x=-1 e x=2, comparamos
y_1 = x + 1 \quad\text{e}\quad y_2 = 9 - x^{2}.
Em x=-1, y_1=0 e y_2=8, logo y_2>y_1.
Em x=2, y_1=3 e y_2=5, logo y_2>y_1.
Não há interseção no intervalo [-1,2], então sempre y_2 está acima de y_1.

Passo 3

A área A é
A = \int_{x=-1}^{2} \bigl[(9 - x^{2}) - (x + 1)\bigr]\,dx = \int_{-1}^{2} \bigl(-x^{2} - x + 8\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculemos a primitiva de -x^{2} - x + 8:
\int \bigl(-x^{2} - x + 8\bigr)\,dx = -\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 8x.
Agora avaliamos de -1 a 2:
Para x=2:
-\frac{2^{3}}{3} - \frac{2^{2}}{2} + 8\cdot 2 = -\frac{8}{3} - 2 + 16 = 14 - \frac{8}{3} = \frac{42 - 8}{3} = \frac{34}{3}.
Para x=-1:
-\frac{(-1)^{3}}{3} - \frac{(-1)^{2}}{2} + 8\cdot(-1) = -\Bigl(-\frac{1}{3}\Bigr) - \frac{1}{2} - 8 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 8 = \frac{2 - 3 - 48}{6} = -\frac{49}{6}.
Subtraindo,
A = \frac{34}{3} - \Bigl(-\frac{49}{6}\Bigr) = \frac{68}{6} + \frac{49}{6} = \frac{117}{6} = \frac{39}{2}.

Resposta

A área da região é \dfrac{39}{2}.

Exercícios relacionados