Seja a função f(x, y, z)=x^{3} y^{5} z^{7}+x y^{2}+y^{3} z. Determine:
f_{z y x}=

Passo 1

O enunciado dá
f(x,y,z)=x^{3}y^{5}z^{7}+x\,y^{2}+y^{3}z
e pede a derivada mista de terceira ordem f_{z y x}. O conteúdo envolve derivadas parciais sucessivas e o Teorema de Schwarz, que garante que a ordem de diferenciação não altera o resultado quando f é suficientemente suave (aqui é polinomial).

Passo 2

Vamos primeiro calcular a derivada parcial em relação a x. Derivando termo a termo,
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{5}z^{7}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y^{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{3}z\bigr) =3x^{2}y^{5}z^{7}+y^{2}+0.

Passo 3

Agora derivamos f_x em relação a y:
f_{x y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y^{5}z^{7}+y^{2}\bigr) =3x^{2}\cdot5y^{4}z^{7}+2y =15x^{2}y^{4}z^{7}+2y.

Passo 4

Em seguida derivamos f_{x y} em relação a z:
f_{x y z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(15x^{2}y^{4}z^{7}+2y\bigr) =15x^{2}y^{4}\cdot7z^{6}+0 =105x^{2}y^{4}z^{6}.

Passo 5

Como f é polinomial, todas as derivadas mistas de ordem 3 são iguais, isto é,
f_{z y x}=f_{x y z}=105x^{2}y^{4}z^{6}.

Resposta

105x^{2}y^{4}z^{6}.

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