Determine se f(x, y)=llx y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) é diferenciável em (0,0). Justifique.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx,y^3x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede para verificar se f é diferenciável em (0,0).
Matematicamente, precisamos achar o mapa linear
L(x,y)=A,x+B,y
que melhor aproxima f em torno de (0,0) e testar
lim(x,y)to(0,0) f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)raizx^2+y^2=0

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) pela definição.
Para a parcial em x:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0
Para a parcial em y:
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k=0
Logo o candidato é L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0.

Passo 3

Pela definição de diferenciabilidade, basta mostrar
lim(x,y)to(0,0) f(x,y)-0raizx^2+y^2=0
Se isso valer, então o erro de aproximação é o(raizx^2+y^2) e f é diferenciável com diferencial nulo.

Passo 4

Usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, com r>0. Então
f(x,y) =(rcostheta),(rsintheta)^3r^2 =r^2costheta,sin^3theta
e portanto
|f(x,y)|<= r^2,l|costheta,sin^3thetar|<= r^2
Assim
|f(x,y)raizx^2+y^2| =|f(x,y)|r<=r^2r=r ;xrightarrow[rto0];0
Isso prova que o quociente exigido tende a zero.

Resposta

A função f é diferenciável em (0,0) e seu diferencial ali é o mapa linear nulo.

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