Determine se
é diferenciável em
(0,0) . Justifique.
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar se
f é diferenciável em
(0,0) .
Matematicamente, precisamos achar o mapa linear
Matematicamente, precisamos achar o mapa linear
que melhor aproxima
f em torno de
(0,0) e testar
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais em
(0,0) pela definição.
Para a parcial emx :
Para a parcial em
Para a parcial em
y :
Logo o candidato é
L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0 .
Passo 3
Pela definição de diferenciabilidade, basta mostrar
Se isso valer, então o erro de aproximação é
o(raizx^2+y^2) e
f é diferenciável com diferencial nulo.
Passo 4
Usamos coordenadas polares:
x=rcostheta ,
y=rsintheta , com
r>0 . Então
e portanto
Assim
Isso prova que o quociente exigido tende a zero.
Resposta
A função
f é diferenciável em
(0,0) e seu diferencial ali é o mapa linear nulo.