Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetorias:
(x, y, z) in R^3 mid 2 y-y+3 z=0

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base do subespaço de R^3 definido pela equação linear
2y - y + 3z = 0
Este é um problema de subespaço definido por uma única equação linear, então esperamos obter um plano em R^3, cujo passo-a-passo envolve simplificar a equação, escolher variáveis livres e escrever uma parametrização.

Passo 2

Primeiro simplificamos a equação:
2y - y + 3z = 0 Longrightarrow y + 3z = 0 Longrightarrow y = -3z
Dessa forma, x e z ficam como variáveis livres.

Passo 3

Escrevendo (x,y,z) em função de x e z:
(x,y,z) = l(x,,-3z,,zr) = x,(1,0,0) ;+; z,(0,-3,1)
Logo o subespaço é gerado pelos vetores (1,0,0) e (0,-3,1).

Passo 4

Os vetores (1,0,0) e (0,-3,1) são claramente linearmente independentes e geram todo o plano dado, de modo que formam uma base. Como há dois vetores na base, a dimensão do subespaço é 2.

Resposta

Dimensão: 2
Base: (1,0,0),,(0,-3,1)

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