Mostre que a interseção de subespaços e a soma de subespaços são subespaços vetoriais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um espaço vetorial
sobre um corpo
e subespaços
(ou dois subespaços
), tanto a interseção
quanto a soma
são também subespaços de
. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto
é subespaço se e somente se
(i) ,
(ii) ,
(iii) .
(i)
(ii)
(iii)
Passo 2
Mostramos que a interseção
satisfaz as três condições de subespaço:
Passo 3
Não-vazio: como cada
é subespaço,
para todo
. Logo
Passo 4
Fechamento sob soma: sejam
. Então para todo
temos
e, como
é subespaço,
. Portanto
Passo 5
Fechamento sob escalar: seja
e
. Então para todo
,
implica
. Logo
Concluímos que
é subespaço de
.
Passo 6
Agora mostramos que a soma
é subespaço de
. Lembrando
Passo 7
Não-vazio: como
e
, temos
Passo 8
Fechamento sob soma: sejam
com
e
. Então
e como
e
são subespaços,
e
. Logo
.
Passo 9
Fechamento sob escalar: seja
e
com
,
. Então
e como
são subespaços,
e
. Logo
.
Passo 10
Como
satisfaz as três condições de subespaço, concluímos que é subespaço de
.
Resposta
Tanto a interseção de quaisquer subespaços de
quanto a soma de dois subespaços de
são subespaços vetoriais.