Mostre que a interseção de subespaços e a soma de subespaços são subespaços vetoriais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um espaço vetorial V sobre um corpo K e subespaços Wisubseteq V (ou dois subespaços W1,W2subseteq V), tanto a interseção
W=capiWi
quanto a soma
W1+W2=w1+w2mid w1in W1,;w2in W2
são também subespaços de V. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto Usubseteq V é subespaço se e somente se
(i) 0Vin U,
(ii) u,vin Uimplies u+vin U,
(iii) alphain K,;uin Uimplies alpha uin U.

Passo 2

Mostramos que a interseção W=capiWi satisfaz as três condições de subespaço:

Passo 3

Não-vazio: como cada Wi é subespaço, 0Vin Wi para todo i. Logo
0VincapiWi = W

Passo 4

Fechamento sob soma: sejam u,vin W. Então para todo i temos u,vin Wi e, como Wi é subespaço, u+vin Wi. Portanto
u+vincapiWi = W

Passo 5

Fechamento sob escalar: seja alphain K e uin W. Então para todo i, uin Wi implica alpha uin Wi. Logo
alpha uincapiWi = W
Concluímos que W é subespaço de V.

Passo 6

Agora mostramos que a soma W1+W2 é subespaço de V. Lembrando
W1+W2=w1+w2mid w1in W1,;w2in W2

Passo 7

Não-vazio: como 0Vin W1 e 0Vin W2, temos
0V+0V=0Vin W1+W2

Passo 8

Fechamento sob soma: sejam
u = w1 + w2, u' = w1'+w2'
com w1,w1'in W1 e w2,w2'in W2. Então
u+u' = (w1+w2)+(w1'+w2') = (w1+w1') + (w2+w2'),
e como W1 e W2 são subespaços, w1+w1'in W1 e w2+w2'in W2. Logo u+u'in W1+W2.

Passo 9

Fechamento sob escalar: seja alphain K e u=w1+w2 com w1in W1, w2in W2. Então
alpha u = alpha(w1+w2) = alpha w1 + alpha w2,
e como W1,W2 são subespaços, alpha w1in W1 e alpha w2in W2. Logo alpha uin W1+W2.

Passo 10

Como W1+W2 satisfaz as três condições de subespaço, concluímos que é subespaço de V.

Resposta

Tanto a interseção de quaisquer subespaços de V quanto a soma de dois subespaços de V são subespaços vetoriais.

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