Seja a transformação linear T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(2 x+y, 3 x+2 y,-2 x-y).
T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (2x+y,;3x+2y,;-2x-y)
O que vamos usar é a noção de surjetividade: T é sobrejetora se sua imagem for todo R^3. Para isso, basta comparar a dimensão do espaço de saída com a dimensão da imagem (teorema do posto), ou mostrar diretamente que nem todo vetor em R^3 pode ser alcançado.

Passo 2

Vamos calcular as imagens dos vetores da base canônica de R^2. Tome
e1 = (1,0), e2 = (0,1)
Então
T(e1) = T(1,0) = (2cdot1+0,;3cdot1+2cdot0,;-2cdot1-0) = (2,3,-2),
T(e2) = T(0,1) = (2cdot0+1,;3cdot0+2cdot1,;-2cdot0-1) = (1,2,-1)
Logo a imagem de T é o subespaço gerado por (2,3,-2),(1,2,-1).

Passo 3

Note que qualquer combinação linear
alpha,(2,3,-2) + beta,(1,2,-1) = (u,v,w)
satisfaz
u = 2alpha + beta, w = -2alpha - beta ;Longrightarrow; u + w = (2alpha+beta) + (-2alpha-beta) = 0
Isto mostra que a imagem de T está contida no plano definido por
u + w = 0
em R^3.

Passo 4

Como esse plano é um subespaço de dimensão 2 menor que 3, a imagem de T não é todo R^3. Pelo teorema do posto, dim(Im,T)=2<3, logo T não pode ser sobrejetora.

Resposta

T não é sobrejetora, pois Im,T é um plano de dimensão 2 em R^3, e não o espaço inteiro.

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