Seja a transformação linear
dada por
.
T é sobrejetora? Justifique.
T é sobrejetora? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
O que vamos usar é a noção de surjetividade:
é sobrejetora se sua imagem for todo
. Para isso, basta comparar a dimensão do espaço de saída com a dimensão da imagem (teorema do posto), ou mostrar diretamente que nem todo vetor em
pode ser alcançado.
Passo 2
Vamos calcular as imagens dos vetores da base canônica de
. Tome
Então
Logo a imagem de
é o subespaço gerado por
.
Passo 3
Note que qualquer combinação linear
satisfaz
Isto mostra que a imagem de
está contida no plano definido por
em
.
Passo 4
Como esse plano é um subespaço de dimensão 2 menor que 3, a imagem de
não é todo
. Pelo teorema do posto,
, logo
não pode ser sobrejetora.