Seja a transformação linear T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(2 x+y, 3 x+2 y,-2 x-y).
T é injetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:R^2 to R^3, T(x,y) = (2x + y,;3x + 2y,;-2x - y)
e pede para verificar se T é injetora. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente a relação entre injetividade de transformações lineares e núcleo.

Passo 2

Uma transformação linear T é injetora se, e somente se, o núcleo de T for trivial, isto é,
ker(T) = (0,0)
Para achar ker(T) resolvemos T(x,y) = (0,0,0).

Passo 3

Escrevendo o sistema associado a T(x,y)=(0,0,0), temos
2x + y = 0, 3x + 2y = 0, -2x - y = 0

Passo 4

Da primeira equação segue y = -2x. Substituindo em 3x + 2y = 0
3x + 2(-2x) = 3x - 4x = -x = 0 ;Longrightarrow; x = 0,
e então y = -2cdot 0 = 0. A terceira equação é redundante (é -1 vezes a primeira), e confirma que não há outra solução.

Passo 5

Como a única solução de T(x,y)=(0,0,0) é (x,y)=(0,0), temos ker(T)=(0,0). Logo T é injetora.

Resposta

T é injetora.

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