Sejam A=(1,3,6), B=(4,-3,3), e C=(2,1,5) três vectores de V_{3}. Determinar as componentes de cada um dos seguintes vectores:
(a) A+B; (b) A-B; (c) A+B-C; (d) 7 A-2 B-3 C; (e) 2 A+B-3 C.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
A = (1,3,6),\quad B = (4,-3,3),\quad C = (2,1,5)
e pede combinações lineares e somas/diferenças. O conteúdo é operação de soma de vetores e multiplicação por escalar em \mathbb{R}^3. Vamos usar a definição componentwise: se \vec u=(u_1,u_2,u_3) e \vec v=(v_1,v_2,v_3), então
\vec u+\vec v = (u_1+v_1,\,u_2+v_2,\,u_3+v_3)
e para escalar k\in\mathbb{R},
k\,\vec u = (k\,u_1,\,k\,u_2,\,k\,u_3).

Passo 2

Calcular A+B. Aplicando a soma componentwise:
A+B = (1+4,\;3+(-3),\;6+3) = (5,\,0,\,9).

Passo 3

Calcular A-B. Subtraindo componente a componente:
A-B = (1-4,\;3-(-3),\;6-3) = (-3,\,6,\,3).

Passo 4

Calcular A+B-C. Primeiro A+B=(5,0,9), depois subtrair C:
A+B-C = (5-2,\;0-1,\;9-5) = (3,\,-1,\,4).

Passo 5

Calcular 7A - 2B - 3C. Primeiro cada termo escalar:
7A = (7\cdot1,\;7\cdot3,\;7\cdot6) = (7,\,21,\,42),
2B = (2\cdot4,\;2\cdot(-3),\;2\cdot3) = (8,\,-6,\,6),
3C = (3\cdot2,\;3\cdot1,\;3\cdot5) = (6,\,3,\,15).
Agora combine:
7A - 2B - 3C = (7-8-6,\;21-(-6)-3,\;42-6-15) = (-7,\;24,\;21).

Passo 6

Calcular 2A + B - 3C. Primeiro:
2A = (2\cdot1,\;2\cdot3,\;2\cdot6) = (2,\,6,\,12),
3C = (6,\,3,\,15)
(já obtido). Então
2A + B - 3C = (2+4-6,\;6+(-3)-3,\;12+3-15) = (0,\;0,\;0).

Resposta

(a) A+B = (5,0,9)
(b) A-B = (-3,6,3)
(c) A+B-C = (3,-1,4)
(d) 7A - 2B - 3C = (-7,24,21)
(e) 2A + B - 3C = (0,0,0)

Exercícios relacionados