Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais de M_{3 \times 3}(\mathrm{R}) ?
(b) W=\left\{\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & d & 0\end{array}\right) / d<a+b+c\right\}.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
\displaystyle W = \Bigl\{\,\begin{pmatrix}a & b & c\\[6pt]0 & 0 & 0\\[6pt]0 & d & 0\end{pmatrix} \;\Big|\; d < a + b + c\Bigr\}
e pede para verificar se W é subespaço vetorial de M_{3\times3}(\mathbb{R}).
Para isso, usamos o teste de subespaço: é preciso checar se
a matriz zero pertence a W,
W é fechado sob soma,
W é fechado sob multiplicação por escalar.]
Passo 2
Verificamos a presença da matriz zero: ela corresponde a a=b=c=d=0. Substituindo na condição de W temos
d < a + b + c \quad\Longrightarrow\quad 0 < 0 + 0 + 0 \quad\Longrightarrow\quad 0 < 0,
que é falso. Logo, a matriz zero não pertence a W.
Passo 3
Como um subespaço vetorial deve conter o vetor zero, a falha desse requisito já impede que W seja subespaço.
Resposta
W não é subespaço vetorial de M_{3\times3}(\mathbb{R}).