Determine a dimensão e uma base do núcleo, a dimensão e uma base da imagem da transformação linear T: R^3 R^2 dada por T(x, y, z)=(y-2 z, x-y-z).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T: R^3to R^2 definida por
T(x,y,z)=(,y-2z,;x-y-z,)
Precisamos encontrar
dim(ker T) e uma base de ker T,
dim(Im,T) e uma base de Im,T.
Usaremos a definição de núcleo como o conjunto de vetores que vão em (0,0) e a de imagem como o subespaço gerado pelas colunas da matriz associada a T.

Passo 2

Impondo T(x,y,z)=(0,0), obtemos o sistema
y - 2z = 0, x - y - z = 0

Passo 3

Da primeira equação segue y=2z. Substituindo na segunda:
x - 2z - z = 0 Longrightarrow x = 3z
Assim qualquer vetor em ker T tem a forma
(x,y,z) = (3z,2z,z) = z,(3,2,1)
Logo
ker T = ,z(3,2,1)mid zin R = span(3,2,1) Longrightarrow dim(ker T)=1

Passo 4

Para a imagem, a matriz de T em relação às bases canônicas é
A = 0 & 1 & -2 1 & -1 & -1 ,
pois
T(1,0,0)=(0,1), T(0,1,0)=(1,-1), T(0,0,1)=(-2,-1)
Portanto
Im,T = span(0,1),(1,-1),(-2,-1)

Passo 5

Os vetores (0,1) e (1,-1) são linearmente independentes em R^2. Como dim( R^2)=2, segue
dim(Im,T)=2 e (0,1),(1,-1)
é uma base de Im,T.

Resposta

dim(ker T)=1, base (3,2,1).
dim(Im,T)=2, base (0,1),(1,-1).

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