Determine a dimensão e uma base do núcleo, a dimensão e uma base da imagem da transformação linear
dada por
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
Precisamos encontrar
– e uma base de
,
– e uma base de
.
–
–
Usaremos a definição de núcleo como o conjunto de vetores que vão em
e a de imagem como o subespaço gerado pelas colunas da matriz associada a
.
Passo 2
Impondo
, obtemos o sistema
Passo 3
Da primeira equação segue
. Substituindo na segunda:
Assim qualquer vetor em
tem a forma
Logo
Passo 4
Para a imagem, a matriz de
em relação às bases canônicas é
pois
Portanto
Passo 5
Os vetores
(0,1) e
(1,-1) são linearmente independentes em
R^2 . Como
dim( R^2)=2 , segue
é uma base de
Im,T .