Um operador linear T, definido em P2(R), é tal que T(1)=t^2, T(t)=1-t e T(t^2)=1+t+t^2.
Determine T(a+b t+c t^2), onde a+b t+c t^2 é um vetor genérico de P2(R).

Passo 1

O enunciado define um operador linear
T:P2(R)to P2(R)
pelas imagens
,T(1)=t^2,
,T(t)=1-t e
,T(t^2)=1+t+t^2.
Queremos calcular
,T(a+b,t+c,t^2)
para um polinômio genérico a+b,t+c,t^2.

Passo 2

Como T é linear, escrevemos
a + b,t + c,t^2 = acdot 1 ;+; bcdot t ;+; ccdot t^2
e aplicamos T termo a termo:
T(a+b,t+c,t^2) = a,T(1) ;+; b,T(t) ;+; c,T(t^2)

Passo 3

Substituindo as imagens dadas:
T(a+b,t+c,t^2) = a,t^2 ;+; b,(1 - t) ;+; c,(1 + t + t^2)

Passo 4

Agora somamos termos semelhantes:
– Coeficiente de t^0: b + c.
– Coeficiente de t^1: -b + c = c - b.
– Coeficiente de t^2: a + c.
Portanto
T(a+b,t+c,t^2) = (b + c);+;(c - b),t;+;(a + c),t^2

Resposta

T(a+b,t+c,t^2) = (b + c) ;+;(c - b),t;+;(a + c),t^2

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