Encontre uma transformação linear T: R^3 R^2 cujo núcleo seja gerado pelo vetor (1,0,3).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear Tcolon R^3toR^2 tal que
ker T = span(1,0,3)
Pela teoria de espaços vetoriais sabemos que, se dimker T=1, então rank,T=2 (Teorema da Dimensão). Assim, podemos representar T por uma matriz 2times3 cujas duas linhas sejam vetores ortogonais a (1,0,3).

Passo 2

Sejam as linhas da matriz A de T vetores v=(a,b,c) que satisfazem
vcdot(1,0,3)=acdot1 + bcdot0 + ccdot3 = 0,
isto é,
a + 3c = 0
Cada linha de A deve obedecer a essa condição, e as duas linhas devem ser linearmente independentes.

Passo 3

Uma escolha simples é
pois em ambos
e definir
Verifique que
o que dá exatamente ((x,y,z)=t(1,0,3)].

Resposta

Uma transformação que atende ao pedido é
T(x,y,z) = (3x - z,;y)

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