Encontre uma transformação linear T: R^3 R^4 cuja imagem seja gerada pelos vetores (1,0,2,3) e (1,0,-1,5).

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear T: R^3 to R^4 cuja imagem seja exatamente o subespaço gerado pelos vetores
v1 = (1,0,2,3), v2 = (1,0,-1,5)
O conteúdo aqui é como definir uma transformação linear a partir da sua ação em uma base, de modo que a imagem seja o span dos vetores desejados.

Passo 2

Uma forma padrão de construir T é usar a base canônica de R^3,
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1),
e definir explicitamente T(ei) para i=1,2,3. Como a imagem deve ser spanv1,v2, basta enviar dois dos vetores da base canônica para v1 e v2 e o terceiro para zero.

Passo 3

Definimos então
T(e1) = v1 = 1023, T(e2) = v2 = 10-15, T(e3) = 0000
Assim garantimos que Im(T)=spanT(e1),T(e2)=spanv1,v2.

Passo 4

Para um vetor genérico (x,y,z)inR^3 usamos a linearidade:
T(x,y,z) = x,T(e1) + y,T(e2) + z,T(e3) = x1023 + y10-15 + z0000
Fazendo a soma coordenada a coordenada,
T(x,y,z) = x + y 0 + 0 2x - y 3x + 5y = x+y 0 2x - y 3x + 5y

Passo 5

Verificamos que qualquer combinação linear de v1 e v2 surge como T(x,y,0), e nenhum outro vetor fora desse span aparece, pois o coeficiente de z não contribui. Logo
Im(T) =spanl(1,0,2,3),(1,0,-1,5)r,
como desejado.

Resposta

Uma possibilidade é
T(x,y,z) = x+y 0 2x - y 3x + 5y ,
cuja matriz na base canônica é
[T] = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 2 & -1 & 0 3 & 5 & 0

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