Encontre uma transformação linear
cuja imagem seja gerada pelos vetores
e
.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
cuja imagem seja exatamente o subespaço gerado pelos vetores
O conteúdo aqui é como definir uma transformação linear a partir da sua ação em uma base, de modo que a imagem seja o span dos vetores desejados.
Passo 2
Uma forma padrão de construir
é usar a base canônica de
,
e definir explicitamente
para
. Como a imagem deve ser
, basta enviar dois dos vetores da base canônica para
e
e o terceiro para zero.
Passo 3
Definimos então
Assim garantimos que
Im(T)=spanT(e1),T(e2)=spanv1,v2 .
Passo 4
Para um vetor genérico
(x,y,z)inR^3 usamos a linearidade:
Fazendo a soma coordenada a coordenada,
Passo 5
Verificamos que qualquer combinação linear de
v1 e
v2 surge como
T(x,y,0) , e nenhum outro vetor fora desse span aparece, pois o coeficiente de
z não contribui. Logo
como desejado.
Resposta
Uma possibilidade é
cuja matriz na base canônica é