Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares
:
cuja matriz em relação às bases canônicas é dada abaixo:
Passo 1
O enunciado pede a dimensão e bases do núcleo (ker T) e da imagem (Im T) da transformação linear T: ℝ²→ℝ⁵ cuja matriz na base canônica é A. Vamos usar a teoria de espaços fundamentais: o núcleo é o conjunto de soluções de A x=0 e a imagem é o espaço gerado pelas colunas de A.
Passo 2
Para achar o núcleo, escrevemos o sistema A x=0. Sejam x=(x₁,x₂). As equações são:
Da terceira equação vem x₁=0; então pela primeira temos x₂=0. Logo a única solução é x=(0,0).
Passo 3
Portanto o núcleo é trivial: ker T={0}. Isso significa dim(ker T)=0 e a base é o conjunto vazio.
Passo 4
A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A. As colunas são
Já que c₁ e c₂ são linearmente independentes (não há α,β não triviais com αc₁+βc₂=0), temos dim(Im T)=2 e uma base é {c₁,c₂}.
Resposta
dim(ker T)=0, base do ker T=∅; dim(Im T)=2, base do Im T={(-1,1,1,0,1)ᵀ, (1,-2,0,0,-1)ᵀ}