Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares
:
cuja matriz em relação às bases canônicas é dada abaixo:
Passo 1
O enunciado pede pra achar a dimensão e uma base do núcleo (ker T) e da imagem (im T) da transformação linear T: ℝ³→ℝ⁴ cuja matriz canônica é
Vamos usar teoria de espaços nulos e colunas para resolver.
Passo 2
Pra encontrar o núcleo, montamos o sistema homogêneo
Ax=0 . Escrevendo
x=(x1,x2,x3)^T :
Dessas equações tiramos
x2=0 ,
x1=0 e
x3=0 . Logo o único vetor no núcleo é o zero, ou seja,
ker T=0 e
dimker T=0 .
Passo 3
A imagem de T é o subespaço gerado pelas colunas de A. As colunas são
Para ver se elas são linearmente independentes, suponha
alphac1+betac2+gammac3=0 . Isso dá o sistema
Então
c1,c2,c3 é linearmente independente e gera a imagem. Assim .
Resposta
dim\ker T = 0, base do núcleo = ∅; dim\im T = 3, base da imagem = { (0,1,0,-1)^T, (1,-2,0,0)^T, (0,0,1,0)^T }