Determine a dimensão e bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares rrr0 & 1 & 0 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 0 : cuja matriz em relação às bases canônicas é dada abaixo:

Passo 1

O enunciado pede pra achar a dimensão e uma base do núcleo (ker T) e da imagem (im T) da transformação linear T: ℝ³→ℝ⁴ cuja matriz canônica é
A=0 & 1 & 0 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 -1 & 0 & 0
Vamos usar teoria de espaços nulos e colunas para resolver.

Passo 2

Pra encontrar o núcleo, montamos o sistema homogêneo Ax=0. Escrevendo x=(x1,x2,x3)^T:
0,x1 + 1,x2 + 0,x3 = 0 1,x1 -2,x2 + 0,x3 = 0 0,x1 + 0,x2 + 1,x3 = 0 -1,x1 + 0,x2 + 0,x3 = 0
Dessas equações tiramos x2=0, x1=0 e x3=0. Logo o único vetor no núcleo é o zero, ou seja, ker T=0 e dimker T=0.

Passo 3

A imagem de T é o subespaço gerado pelas colunas de A. As colunas são
c1=(0,1,0,-1)^T, c2=(1,-2,0,0)^T, c3=(0,0,1,0)^T
Para ver se elas são linearmente independentes, suponha alphac1+betac2+gammac3=0. Isso dá o sistema
beta=0 alpha-2beta=0 gamma=0 -alpha=0 impliesalpha=beta=gamma=0
Então c1,c2,c3 é linearmente independente e gera a imagem. Assim .

Resposta

dim\ker T = 0, base do núcleo = ∅; dim\im T = 3, base da imagem = { (0,1,0,-1)^T, (1,-2,0,0)^T, (0,0,1,0)^T }

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