Suponha que
seja linear. Mostre que cada um dos seguintes subespaços é invariante por
.
(iii) núcleo de
(iii) núcleo de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o núcleo de
é um subespaço invariante por
. O conteúdo envolve transformações lineares e subespaços invariantes; vamos usar a definição de núcleo e a definição de invariança.
Passo 2
Lembrando que um subespaço
é invariante por
se, sempre que
, tivermos
.
Passo 3
Seja
. Pela definição de núcleo,
. Então, aplicando
novamente e usando linearidade, temos
Isso mostra que
satisfaz a condição para pertencer a
.
Passo 4
Portanto, para todo
vimos que
. Isso implica
o que conclui que o núcleo de
é invariante por
.
Resposta
T(\ker T)\subseteq\ker T, logo o núcleo de T é invariante por T.