Suponha que T: V V seja linear. Mostre que cada um dos seguintes subespaços é invariante por T.
(iii) núcleo de T

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o núcleo de T é um subespaço invariante por T. O conteúdo envolve transformações lineares e subespaços invariantes; vamos usar a definição de núcleo e a definição de invariança.

Passo 2

Lembrando que um subespaço Wsubseteq V é invariante por T se, sempre que win W, tivermos T(w)in W.

Passo 3

Seja vinker T. Pela definição de núcleo, T(v)=0. Então, aplicando T novamente e usando linearidade, temos
Tl(T(v)r)=T(0)=0
Isso mostra que T(v) satisfaz a condição para pertencer a ker T.

Passo 4

Portanto, para todo vinker T vimos que T(v)inker T. Isso implica
T(ker T)subseteqker T,
o que conclui que o núcleo de T é invariante por T.

Resposta

T(\ker T)\subseteq\ker T, logo o núcleo de T é invariante por T.

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